Parte esercizi

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07.05.2013 — Esercizi Esercizio 1. Si lanciano 2 dadi a 6 facce, bilanciati e indipendenti. Siano X e Y le variabili aleatorie che, a ogni lancio, codificano il risultato sui due dadi, e sia S =X +Y la somma dei due punteggi. 1.1 Qual ` e la probabilit` a che la somma dei due punteggi sia 6? Soluzione: Ricordando che X e Y sono i.i.d. (indipendenti e identicamente distribuite), si ha: P{S = 6} = 5∑ i=1 P{X =i,Y = 6−i} = 5· 1 36 = 5 36. 1.2 Calcolare media m e varianza v di S1. Soluzione: Per quanto riguarda la media E [S] = E [X +Y ] = E [X] + E [Y ] = 2· ∑6 i=1i 6 = 2· 21 6 = 7; per la varianza Var [S] = Var [X +Y ] = Var [X] + Var [Y ] = 2 Var [X] = 2 { E [ X 2] − (E [X])2 } = 2 {∑6 i=1i2 6 − (7 2 )2} = 2 { 91 6 − 49 4 } = 2· 35 12 = 35 6 . Ora si lanciano ripetutamente i 2 dadi. Sia Q la variabile aleatoria che conta i lanci da effettuare per ottenere per la prima volta una somma uguale a 6. 1.3 Qual ` e la media diQ? Soluzione: Q ` e una variabile aleatoria geometrica. La probabilit` a di successo a ogni lancio ` ep = 5 36. La sua media ` e E [Q] = 1 p = 36 5 = 7.2. 1.4 Qual ` e la probabilit` a che, nei primi 3 lanci, si ottenga almeno una volta una somma uguale a 6? Soluzione: Si tratta di trovare P{Q≤ 3}. La probabilit` a di fare 6 a ogni lancio ` e 5 36, quindi P{Q≤ 3} = P{Q = 1} + P{Q = 2} + P{Q = 3} = 5 36 + 31 36 5 36 + (31 36 )2 5 36≃ 0.3615; in alternativa, si pu` o procedere anche cos` ı: P{Q≤ 3} = 1− P{Q> 3} = 1− (31 36 )3 ≃ 0.3615. 1.5 Immaginando che la sia diversa da 6 per 10 volte consecutive, qual ` e la probabilit` a che sia necessario attendere almeno altri 3 tentativi per ottenere una somma uguale a 6? Soluzione: Grazie alla propriet` a dell’assenza di memoria, P{Q≥ 13|Q> 10} = P{Q≥ 3} = (31 36 )2 ≃ 0.7415. In alternativa, se non si considera il…