Parte esercizi sol 2

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16.09.2013 –Esercizi Esercizio 1. Supponiamo che una macchina M1 produca pezzi buoni con una probabilit` a doppia di quella con cui produce pezzi difettosi 1.1 Indicare la probabilit` a che un pezzo prodotto dalla macchina sia difettoso. Soluzione: Sia p la probabilit` a che il pezzo prodotto sia difettoso. La probabilit` a che sia buono ` e evidentemente 1−p, si dovr` a verificare quindi (1−p) = 2p cio` e p = 1 3 1.2 Si estraggano casualmente due pezzi dalla produzione. Indichiamo con N1 la variabile aleatoria che conta i pezzi difettosi estratti. Le qualit` a dei due pezzi estratti non si influenzano e la popolazione dei pezzi prodotti ` e numericamente molto grande, cosicch´ e la probabilit` a di trovare un pezzo difettoso (o non difettoso) nelle successive estrazioni non varia. Qual ` e la densit` a della variabile aleatoriaN1? Soluzione: Trattandosi di estrazioni indipendenti e, praticamente, con rimpiazzo N1∼B(2, 1/3). 1.3 Supponiamo ora di avere una seconda macchina M2 e che la probabilit` a che un pezzo prodotto daM2 sia difettoso ` e2/9. Le due macchine producono lo stesso numero di pezzi (molto grande) che finiscono tutti insieme. Si estraggono ancora due pezzi a caso dalla produzione delle due macchine e si indica conU il numero di pezzi prodotti dalla macchina M1. Qual ` e la densit` a della variabile aleatoriaU? Soluzione: Dato che le due macchine producono lo stesso numero di pezzi, U∼B(1, 1/2). 1.4 Si estraggono due pezzi a caso dalla produzione delle due macchine e si indica con X in numero di pezzi difettosi. Qual ` e la funzione di massa di probabilit` a della variabile aleatoriaX rispetto alle probabilit` a condizionate P (·|{ U = 0}), P (·|{ U = 1}), P (·|{ U = 2}) ? Ovvero quali sono le probabilit` aP{X =k| U =j} perj,k∈{ 0, 1, 2}? Soluzione:…