Parte esercizi sol

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08.05.2014 — Esercizi Esercizio 1 . Tre urne A1,A 2,A 3 hanno la seguente composizione palline Blu palline Rosse A1 8 2 A2 3 7 A3 5 5 Si sceglie un’urna a caso e si estrae una pallina da quell’urna. Sia Uk ={si ` e scelta l’urnak} e B ={la pallina estratta ` e Blu}. 1.1 Qual ` e la probabilit` a che la pallina sia Blu e provenga dall’urna A1? `E chiaro che P [U1] =P [U2] =P [U3] = 1 3 e inoltre P [B|U1] = 4 5, P [B|U2] = 3 10, P [B|U3] = 1 2. quindi P [B∩U1] =P [B|U1]·P [U1] = 4 5· 1 3 = 4 15 1.2 Qual ` e la probabilit` a che la pallina estratta sia Blu cio` eP [B] (da un’urna scelta a caso senza sapere se ` e A1,A2 o A 3)? Grazie alla formula della probabilit` a totale P [B] =P [B|U1]·P [U1] +P [B|U2]·P [U2] +P [B|U3]·P [U3] = 4 5· 1 3 + 3 10· 1 3 + 1 2· 1 3 = 8 15 1.3 Sapendo che ` e stata estratta una pallina Blu, qual ` e la probabilit` a che sia stata estratta dall’urnaU1? Grazie alla formula di Bayes P [U1|B] = P [B|U1]·P [U1] P [B] = 4 5· 1 3· 15 8 = 1 2 1.4 Si mescolano tutte le palline in una stessa urna e se ne pescano due senza reimmissione. Indichiamo con X la variabili aleatoria “colore della prima pallina estratta” e Y “colore della seconda pallina estratta” con la convenzione che l’evento {X = 1} (risp.{Y = 1}) indica il risultato “prima (risp. seconda) pallina estratta Blu”. Trovare le masse di probabilit` a marginali di X e Y e la massa di probabilit` a congiunta. Evidentemente P{X = 1} = 16 30 = 8 15, P {X = 0} = 14 30 = 7 15 cio` eX ha densit` aB(1, 8/15). Inoltre P{Y = 1} = P{Y = 1|X = 0}· P{X = 0} +P{Y = 1|X = 1}· P{X = 1} = 16 29 14 30 + 15 29 16 30 = 8 15, P{Y = 0} = 1 −P{Y = 1} = 7 15 e quindi anche Y ha densit` aB(1, 8/15). Troviamo quindi la densit` a congiunta P{X = 1,Y = 1} = P{Y = 1|X = 1}P{X = 1} = 16 30 15 29 = 8 29 P{X = 1,Y = 0} = P{Y =…