Prova parziale 17 gen 2018 Tema B

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Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prova scritta del 17/1/2018 Cognome Nome Matr. N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegner` a, lo studente indichi il proprio cognome e n◦ di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr` a conto anche dell’ordine. (tempo: 150 min ) 1. Sia h (x) = √x 1 +x. Calcolare h′ (x) usando la definizione di derivata. 2. Sia f (x) = { xg (x) se x̸= 0 0 se x = 0 Dare condizioni necessarie e sufficienti sulla funzione g affinch´ ef sia derivabile in x = 0. 3. Calcolare il seguente limite: lim x→+∞ x4 ( tan2 1 x− sin 1 x2 ) 4. Determinare flessi e intervalli di concavit` a/convessit` a della funzione f (x) =x|x| + 3|x|−| x− 3|− 4 5. Si consideri la curva cartesiana piana (detta “catenaria”) di equazione y = coshx. (a) Calcolare il raggio di curvatura ρ =ρ (x) della catenaria nel generico punto x∈ R e verificare che ρ (x) ` e una funzione pari. (b) Calcolare la lunghezza dell’arco di catenaria compreso fra i punti di ascisse −x e x (con x> 0) ed esprimere il risultato in funzione di ρ (x). 6. Calcolare il valore del seguente integrale: ∫ 1 0 (log4x)3 dx 1 7. Stabilire per quali valori del parametro reale λ il seguente integrale improprio converge: ∫ +∞ 0 ( xλ +x−λ) e−x dx 8. Studiare la funzione integrale Φ (x) = ∫ x −1 3 √ 1 +t4 t +t2 dt (dominio, monotonia ed estremi, eventuali asintoti, grafico). 9. Determinare il carattere delle serie ∑ 1 n4 (n 4 ) ; ∑( 1 + 1 n )n xn essendo x un parametro reale. 10. Calcolare un valore approssimato dell’integrale ∫ 0.9 0 sin ( x3) dx con un errore…