Prova parziale del 7 nov 2018 Tema A

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Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Pro¤ . Monticelli, V erri Prima prova parziale del 07/11/2018 Cognome Nome Matr. N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnerà, lo studente indichi il proprio cognome e n  di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligra a leggibile: nella valutazione complessiva dell’ elaborato si terrà conto anche dell’ ordine. (tempo: 2h 30min ) 1. Provare per induzione che la disuguaglianza n 1Y k=1 (2k)! (n!)n 1 è vera per ogni intero n 2. [Simbolo di produttoria: nY k=1 ak =a1a2


 an] 2. Sia K un campo ordinato. Provare che 8x2 K x> 0 =) x +x 1 1 + 1 (Speci care le proprietà dei campi ordinate usate.) 3. Determinare le radici complesse z dell’ equazione (1 +i)8z2 =z 4. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’ insieme A =  z2 C : arg z 1 z + 1  =  4  5. Sia f (x) =  x + 1 se x 1 px + 1 se x> 1 Disegnare il gra co dif e poi calcolare la funzione composta ff . 1 6. Provare che la funzione g (x) = r x x + 1 è invertibile per x 0. Quindi calcolarne l’ inversag 1, precisandone il dominio. 7. V eri care con la de nizione metrica il seguente limite: lim x!1+ px 1px 1 = +1 8. Determinare la classe limite della successione an = 2 + [( 1)n 1]n 2 + sin n 3  9. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n = 0; 1; 2;::: ) an+1 = 1 + (an 1)3 al variare di a02 R. 10. Eseguire lo studio asintotico (dominio massimale, segno, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione h (x) = xjxj jx 1j + 3 r 1 e x coshx 2