Raccolta di domande e risposte

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DOMANDA 1 - EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO LAGRANGIANE E EULERIANE L’equilibrio di un solido può essere analizzato attraverso due punti di vista fondamentali: l’approccio Lagrangiano (detto anche materiale) o l’approccio Euleriano (detto anche spaziale). Il primo considera come configurazione di riferimento quella iniziale indeformata, mentre il secondo considera come configurazione di riferimento quella deformata. La differenza tra i due approcci può diventare molto consistente se gli spostamenti non sono infinitesimi. A seconda che venga intrapreso un approccio o l’altro, le equazioni indefinite di equilibrio sono diverse. In particolare, si ha: -Approccio Lagrangiano: ! ; -Approccio Euleriano: ! . Per ricavare entrambe le formulazione si utilizza l’equazione di conservazione della quantità di moto: ! Inoltre è necessario sfruttare la relazione di Cauchy e la formula di Nanson. La prima rappresenta lo sforzo agente in un punto su un piano di normale ! e si esprime notoriamente come: ! La formula di Nanson, invece, si ricava sfruttando il legame tra lo stesso volume infinitesimo considerato in configurazione indeformata e deformata: ! dove si è sfruttata la definizione di gradiente di deformazione ! . Applicando la relazione di Cauchy all’equazione della quantità di moto e manipolando il primo termine si ottiene l’equazione indefinita di equilibrio Euleriana: ! avendo considerato l’arbitrarietà dei volumi e la relazione di conservazione della massa ! . Si nota come il tensore di Cauchy ! faccia riferimento alla configurazione deformata. Per ottenere l’equazione di Equilibrio Lagrangiana si applica la formula di Nanson: ! Si nota come nell’approccio Lagrangiano compaia la densità relativa alla configurazione indeformata e il tensore nominale degli sforzi ! , che fa…