Raccolta di esercizi svolti

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Analisi Matematica e Geometria Secondo Semestre Ambientali 2008/2009 ∗∗ ESERCIZI PROPOSTI E RISOLTI April 22, 2009 1) Studiare il carattere della seguente serie numerica: ∞∑ n=0 (5 + n)(10 + n) 3n . 2) Dopo aver classificato la seguente serie numerica: ∞∑ n=0 ( a + 1 a − 5 )n con a parametro reale: 1) determinare per quali valori del parametro la serie converge; 2) in corrispondenza di tali valori determinare la somma della serie. 3) Determinare il carattere della seguente serie numerica: ∞∑ n=0 b n! con b parametro reale positivo. 4) Determinare il carattere della seguente serie numerica: ∞∑ n=2 1 n (log n)n dopo aver giustificato perche’ l’indice intero n del simbolo ∑parte dal valore 2. 1 5) Disegnare l’insieme di definizione E della funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) = √ 3 − log (x2 + y2 − 2) e specificarne le caratteristiche topologiche (aperto, chiuso, limitato, illimitato, connesso per archi). 6) Disegnare l’insieme di definizione E della funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) = xy + 1 xy e specificarne le caratteristiche topologiche (aperto, chiuso, limitato, illimitato, connesso per archi). 7) Disegnare l’insieme di definizione E della funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) = xy + 1 xy + log xy e specificarne le caratteristiche topologiche (aperto, chiuso, limitato, illimitato, connesso per archi). 8) Disegnare l’insieme di definizione E della funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) = 3 − √ (1 − x2) (1 − y2) e specificarne le caratteristiche topologiche (aperto, chiuso, limitato, illimitato, connesso per archi). 9) Disegnare l’insieme di definizione E della funzione reale di due variabili reali z = f (x, y) = √ 4 (x2 + y2 − x) (−x2 − y2 + 2 x) e specificarne le caratteristiche topologiche (aperto, chiuso, limitato,…