Raccolta dimostrazioni principali domande

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1 STATICA DEI FLUIDI PRESSIONE = determiniamo la pressione analizzando il tetraedro di Cauchy . Per farlo applichiamo la seconda legge della dinamica semplificata al caso statico. In questo caso possiamo trascurare la forza di volume perché è di un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla forza di superficie ∑𝐹𝑆̅ +∑𝐹𝑉̅̅̅=0̅ 𝐹𝑉̅̅̅=𝜌𝑓̅𝑑𝑊 ∑𝐹𝑆̅ =𝜙̅𝑥𝑑𝐴𝑥+𝜙̅𝑦𝑑𝐴𝑦+𝜙̅𝑧𝑑𝐴𝑧+𝜙̅𝑛𝑑𝐴 𝜙̅𝑥𝑑𝐴𝑥+𝜙̅𝑦𝑑𝐴𝑦+𝜙̅𝑧𝑑𝐴𝑧+𝜙̅𝑛𝑑𝐴𝑛+𝜌𝑓̅𝑑𝑊=0̅ 𝜙̅𝑥𝑑𝐴𝑥+𝜙̅𝑦𝑑𝐴𝑦+𝜙̅𝑧𝑑𝐴𝑧+𝜙̅𝑛𝑑𝐴=0̅ 𝜙̅𝑥=𝜙𝑥𝑥𝑖̂ 𝜙̅𝑦=𝜙𝑦𝑦𝑗̂ 𝜙̅𝑧=𝜙𝑧𝑧𝑘̂ 𝜙̅𝑛=𝜙𝑛𝑛𝑛̂ 𝜙𝑥𝑥𝑖̂𝑑𝐴𝑥+𝜙𝑦𝑦𝑗̂𝑑𝐴𝑦+𝜙𝑧𝑧𝑘̂𝑑𝐴𝑧+𝜙𝑛𝑛𝑛̂𝑑𝐴=0̅ Proietto lungo la direzione y: 𝜙𝑦𝑦𝑑𝐴𝑦+𝜙𝑛𝑛𝑛𝑦𝑑𝐴=0 𝑑𝐴𝑦=−𝑛𝑦𝑑𝐴 𝜙𝑦𝑦(−𝑛𝑦𝑑𝐴)+𝜙𝑛𝑛𝑛𝑦𝑑𝐴=0 𝜙𝑦𝑦=𝜙𝑛𝑛 Così anche in tutte le altre direzioni e ottengo: 𝜙𝑦𝑦=𝜙𝑛𝑛=𝜙𝑥𝑥=𝜙𝑧𝑧=𝑝 TENSORE DEGLI SFORZI = grazie all’analisi del tetraedro di Cauchy possiamo definire il tensore degli sforzi che ha come elementi della diagonale principale le componenti normali degli sforzi mentre fuori dalla diagonale principale ha le componenti tangenziali Φ̅̅ =[ 𝜙𝑥𝑥 𝜙𝑥𝑦 𝜙𝑥𝑧 𝜙𝑦𝑥 𝜙𝑦𝑦 𝜙𝑦𝑧 𝜙𝑧𝑥 𝜙𝑧𝑦 𝜙𝑧𝑧 ] TENSORE DEGLI SFORZI IN STATICA = per un fluido in quiete le componenti tangenziali degli sforzi sono nulli quindi il tensore degli sforzi si semplifica come segue: Φ̅̅ =[ 𝜙𝑥𝑥 0 0 0 𝜙𝑦𝑦 0 0 0 𝜙𝑧𝑧 ]=[ 𝜙𝑛𝑛 0 0 0 𝜙𝑛𝑛 0 0 0 𝜙𝑛𝑛 ]=[ 𝑝 0 0 0 𝑝 0 0 0 𝑝 ]=𝑝[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]=𝑝I̅̅ ∇Φ̅̅ = 𝜕𝜙𝑦̅̅̅ 𝜕𝑦𝑗̂+ 𝜕𝜙𝑧̅̅̅ 𝜕𝑧 𝑘̂+ 𝜕𝜙𝑥̅̅̅ 𝜕𝑥𝑖̂ 2 EQUAZIONE INDEFINITA DELLA STATICA = ricaviamo ora l’equazione indennità della statica dei fluidi analizzando un parallelepipedo infinitesimo di volume. Anche in questo caso deve valere la seconda legge della dinamica semplificata al caso statico. In questo caso non possiamo sperò semplificare la forza di volume perché non è di un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla forza di superficie. Per calcolare le forse di superfice sfruttiamo la meccanica del continuo ∑𝐹𝑆̅ +∑𝐹𝑉̅̅̅=0̅…