Raccolta Esercizi TDE 2021

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Esame di Geometria e Algebra Lineare - Test a risposta multipla Politecnico di Milano – Prof. Marco Compagnoni – Prima prova in itinere – A.A. 2021/2022 La risposta corretta ` e sempre la (a). 1. Il sistema lineare    x +y +z =a y−z =b y +z =c ammette soluzioni reali (a) per ogni a,b,c ∈ R (b) se e solo se a =b =c = 0 (c) per infiniti valori di a,b,c ∈ R, ma non per tutti (d) nessuna delle altre risposte ` e corretta 2. Siano X1,X 2 soluzioni del sistema lineare AX =B. Allora ` e sicuramente vero che (a) 2X1− 3X2 ` e soluzione del sistemaAX =−B (b) X1−X2 ` e soluzione del sistemaAX =B (c) X1 +X2 ` e soluzione del sistema omogeneoAX = 0 (d) X1 =X2 3. Sia A la matrice A =   k 0 0 k 0 k 0 0 0 0 k 0 1 0 0 k  . (a) A ha rango almeno 3 per k̸= 0 (b) A ha rango 4 per ogni k̸= 0 (c) Per k = 0, A ha rango 2 (d) Per k = 1, A ha rango 2 4. L’inversa della matrice   1 0 2 2 1 0 0 0 1   ` e (a)   1 0 −2 −2 1 4 0 0 1   (b)   1 −2 0 0 1 0 −2 4 1   (c)   1 0 −2 −2 1 4 0 1 0   (d) non esiste 5. I polinomi x2− 2x + 1,x2−x, 1−x (a) generano un sottospazio di R[x]2 di dimensione 2 (b) formano una base di R[x]2 (c) sono un insieme di generatori di R[x]2 1 (d) sono linearmente indipendenti 6. Dato v = (1, 1, 1)∈ R3, le componenti di v rispetto alla baseB = ((1, 1, 0), (0,−1,−1), (1, 0, 1)) sono (a)   1/2 −1/2 1/2   (b)   −1/2 1/2 1/2   (c)   1/2 1/2 −1/2   (d)   −1/2 −1/2 1/2   7. Dati i sottospazi U =L((1,−1, 0), (1, 0,−1), (0, 1,−1)) e V :x−y +z = 0 di R3, allora (a) dim(U∩V ) = 1 (b) U ` e un sottospazio diV (c) V ` e un sottospazio diU (d) R3 =U⊕V 8. Dire quale delle seguenti funzioni f : R3→ R2 ` e un’applicazione lineare: (a) f(x,y,z ) = (0, 0) (b) f(x,y,z ) = (1, 1) (c) f(x,y,z ) = (x +y + 1,z ) (d) f(x,y,z ) = (x + 2xy,xy + 2y) 9. Sia f∈…