Raccolta Esercizi TDE 2023

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Esame di Geometria e Algebra Lineare - Esercizi Politecnico di Milano – Prof. Marco Compagnoni – Seconda prova in itinere – A.A. 2022/23 1. Sia f∈ End(R3) de nita da f(x,y,z ) = (x + 2y + 3z,y + 2z,x +y +z). i. Determinare dimensioni e basi di nucleo ed immagine di f. ii. Scrivere la matrice rappresentativa [ f]B, ˜B rispetto a B = ((−2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)) e ˜B = ((1, 1, 1), (1,−1, 0), (0, 1, 0)). iii. Trovare un sottospazio U⊆ R3 tale che dim(f(U))< dim(U). 2. Siano A = [ 1 −2 1 4 ] , B = [ 1 1 0 4 ] , C = [ 3 0 1 2 ] . i. Stabilire se A e B sono simili. ii. Scrivere le matrici che diagonalizzano A e C. iii. Stabilire se A e C sono simili ed in tal caso trovare una matrice invertibile S tale che A =S−1CS. 3. Siano v = (1, 1, 1)∈ R3 ed O = (0, 0, 0)∈ E3, rispettivamente un vettore ed un punto ssati. Si consideri quindi il luogo di punti Q de nito come Q = { P = (x,y,z )∈ E3 ⏐⏐⏐ cos ( ˆv,− − →OP ) =± 1√ 2 } ∪{O}. i. Dimostrare che Q  e la quadrica di equazionex2 +y2 +z2− 4xy− 4xz− 4yz = 0. ii. Scrivere l'equazione canonica di Q e classi care la super cie. iii. Dimostrare che Q  e una quadrica di rotazione e determinare una parametrizzazione dell'asse di rotazione (nelle coordinate x,y,z ). 1 Soluzioni 1. i. La matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica E3  e [f]E3 = [ [f(e1)]E3 [f(e2)]E3 [f(e3)]E3 ] = [ [(1, 0, 1)]E3 [(2, 1, 1)]E3 [(3, 2, 1)]E3 ] =   1 2 3 0 1 2 1 1 1  . E ettuando la riduzione a scala, otteniamo:   1 2 3 0 1 2 1 1 1   R3−R1+R2→R3 −−−−−−−−−−−→   1 2 3 0 1 2 0 0 0   ⇒ ker(f) : { x + 2y + 3z = 0 y + 2z = 0 . Quindi: • ker(f) =L((1,−2, 1)) e dim(ker(f)) = 1; • Im(f) =L((1, 0, 1), (2, 1, 1)) e dim(Im(f)) = 2. ii. Per la regola del cambiamento di base, abbiamo: [f]B ˜B =ME3 ˜B[f]E3MBE3. Le matrici di cambio base che…