raccolta temi desame anni 2011 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova in itinere del 15/11/2011 (tempo: 3h) 1. Siano p, q ed r tre proposizioni, ed s l’enunciato “( p ∨ q) =⇒ r”. Si sa che q ` e falso ed s ` e vero. Indicare i possibili valori di verit` a di p ed r. 2. Sia x un elemento di un campo ordinato. Provare che x > 0 ∧ x > x −1 =⇒ x > 1 (Speci care tutte le propriet a dei campi ordinati utilizzate nei passaggi. ) 3. Sia z = 1 − i √ 3 (a) Calcolare Re ( z2 + z3) e z4z3. (b) Determinare e rappresentare nel piano di Gauss i valori di 5√z. (c) Determinare per quali interi positivi n si ha Im (zn) = 0. 4. Risolvere il sistema nelle due incognite complesse  e  {  = 1 ||2  +  = i 5. Partendo da grafici fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i grafici di |x| + x x − 1 ; ⌊ 1 x ⌋ ; 2−|x| − 1 4 6. Stabilire se la funzione y = f (x) = √ x + x2 ` e invertibile in un intorno del punto x = 1. In caso affermativo calcolarne l’inversa, precisandone il dominio massimale. 7. Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limite lim x→0 ln ( x − 1 x ) 8. Determinare l’ordine d’infinitesimo (per x − →e+) della funzione h (x) = √ ln2 x − 1 9. Siano f (x) → +∞ e g (x) → +∞ due infiniti simultanei. (a) Provare che f (x) ∼ g (x) = ⇒ ln f (x) ∼ ln g (x) (b) Mostrare con un controesempio che l’implicazione inversa ` e falsa. 1 10. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinito e di infinitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della funzione f (x) = |x| 3 √ x2 − 4 x2 + 1 11. Usando il metodo grafico, stabilire il carattere della successione ricorsiva an+1 = 2 an − 1 al variare di a0 = x ∈ R. 12. Determinare gli intervalli di…