raccolta temi desame anni 2013 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova parziale del 26/11/2013 (tempo: 3h) 1. Provare per induzione che la proposizione 9 n∑ k=1 k ( 4k − 2k ) = (3n − 1) 4n+1 − 9 (n − 1) 2n+1 − 14  e vera per ognin ≥ 1. 2. Provare che in un campo ordinato l'equazione x3 = 1 non pu o avere soluzionix > 1. ( Speci care tutte le propriet a dei campi ordinati utilizzate nei passaggi. ) 3. Sia z = 1 − i √ 3. Calcolare: Re ( 1 + z2) ; arg ( z37) ; z2 − z2 ; 4√ z8 4. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessi A = { z ∈ C : z + 1 z + i ≥ 1 } ; B = {  ∈ C :  = √z; z ∈ A } 5. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di 5 √ |x| − 32 ; |x − 1| |x| − 1 ; arcsin (3 |x| − 1) 6. Siano D ⊂ R e f : D ⊂ R − →R, g : D − →R due funzioni tali che ∀x ∈ D f (x) < g (x). Provare che inf D f ≤ inf D g e dare un esempio in cui vale il segno di uguaglianza. 7. Provare che la funzione g (x) = arccos ( 1 x + 2 )  e invertibile nell'intorno dix = 1. Calcolare poi l'inversa e disegnarne il gra co nel suo dominio massimale. 8. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x→1+ ln x ln2 x − 1 9. Calcolare lim x→0+ √x esin(1=x) ; lim x→+∞ 3√ ex + e2x 2x essendo  un parametro reale positivo. 1 10. Determinare il dominio, eventuali punti di discontinuit a ed eventuali asintoti della funzione h (x) = sin (x) |x − 1| ln (ex+3 − e) 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione f (x) = 3 √ 1 + x3 − e−x 12. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della…