raccolta temi desame anni 2015 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri T emi d’ esame Prima prova parziale del 24/11/2015 (tempo: 3h) 1. Siano a;b;c tre proposizioni. (a) Disegnare il circuito equivalente alla proposizione p seguente: (a_b)^ (a =)c) (b) Stabilire per quali valori di verità di a;b;c la proposizione p risulta vera. 2. Provare per induzione che la disuguaglianza NX n=1 1pn < 2 p N è vera per ogni intero naturale N 1. 3. Data l’ equazione nell’ incognita complessaz z3 5z2 +Kz 6 = 0 (a) Determinare K in modo che z = 3 sia una radice. (b) Per tale valore di K calcolare tutte le altre radici dell’ equazione. 4. Posto A =fIm (z) : 1jz ij< 2g determinare: A (interno di A), @A (frontiera di A), A (chiusura di A), supA, infA. 5. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di x 2 x + 1 ; arcsin jx + 1j ; ln x2 + 2jxj + 1
6. Provare che la funzione y =f (x) = 5 arctan  1 x2 + 1  è invertibile per x 0. Calcolare poi l’ inversa f 1 e disegnare con cura i gra ci di y =f (x) e di y =f 1 (x). 7. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x! 1 1 e2x ex 8. Calcolare lim x!+1 xsin(1=x) ; lim x!0+ x  1 x  doveb c indica il più grande intero minore o uguale ad 2 R. 1 9. Calcolare il minimo e il massimo limite della successione bn =n+( 1)n al variare del parametro reale  0. 10. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n = 0; 1; 2;::: ) an+1 = 1 2an (1 an) al variare di a02 R. 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione g (x) = 3 p x (x2 4) (e2x 1) 12. Determinare il dominio…