raccolta temi desame anni 2016 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri T emi d’ esame Prima prova parziale del 22/11/2016 (tempo: 3h) 1. Provare che in un campo ordinato l’ equazione x2 +x + 1 = 0 non ha soluzione. [ Suggerimento: distinguere i tre casi x> 0, x = 0, x< 0.] 2. Risolvere l’ equazione nell’ incognita complessaz (z + 1)4 =z4 3. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’ insieme B =  z2 C : Re  zp 3 +i   p 3 Im  zp 3 +i  4. Posto A =  1 n + 1 + cos2 n 2  :n2 N  determinare: A0 (derivato di A), @A (frontiera di A), A (chiusura di A), supA, infA. 5. Partendo da gra ci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i gra ci di jx (x 1)j x ; x + p sin (x) 1 ; 2 + ln x2
6. Sia f (x) =x2 3x + 3 con x reale. Determinare tutte le funzioni g (x) tali che (fg) (x) = 4x2 + 6x + 3 7. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x!+1 e 2x 2e x 1 e x 8. Calcolare lim x!0 ln (2 cos (3x)) ln2 (1 + tan (5x)) ; lim x!+1  exp  1 x + 1  exp  1 x  x al variare del parametro reale > 0. 9. Provare che lim n!+1 2nX k=n 1 k2 = 0 1 10. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n = 0; 1; 2;::: ) an+1 = an a2 n al variare di a02 R. 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in nito e di in nitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra co probabile della funzione h (x) =  3 p x3 1  arctan (ex) 12. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuità ed eventuali asintoti della funzione f (x) = 1 1 + 1 1 + 1 x 2 Seconda prova parziale del 31/1/2017 (tempo: 3h) 1. Determinare gli intervalli di continuità uniforme della funzione f (x) = (x + 1) exp  1 arctanx  2. Sia g (x)…