raccolta temi desame anni 2017 prof Maurizio Verri

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’ Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I - prof. Maurizio Verri T emi d’ esame Prima prova parziale del 14/11/2017 (tempo: 2h 30min) 1. Provare per induzione che la disuguaglianza n!> n e n è vera per ogni intero n 1. 2. Posto A =  a2 Q :a2< 5 B = fb2 Q :j6 3bjj bjg C = fa b :a2A;b2Bg D = fab :a2A;b2Bg calcolare (in R): supC, infC, supD e infD. 3. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss le radici complesse z dell’ equazione z2 1 i
2 = 8i 4. Provare che la funzione f (x) = 1 4x4 +x8 è invertibile per x <0. Quindi calcolarne l’ inversa f 1, precisandone il dominio, e disegnare i gra ci dif e di f 1 sullo stesso piano cartesiano. 5. Calcolare e poi veri care con la de nizione metrica il seguente limite lim x!1 x +px 2 x 1 6. Determinare la classe limite della successione an = n sin n 4  2 +n cos n 4  7. Mettere in ordine di rapidità crescente i seguenti in nitesimi per x ! 0+, giusti cando la risposta. e px + e px 2 ; 1 + 3px 1
3 ; 3p x lnx ; 1 + 3 p x3 1 ;  x lnx 3 8. Siano f;g : [0; 1]! [0; 1], continue, con g (0) = 0, g (1) = 1. Provare che si ha f (c) = g (c) per qualchec2 [0; 1]. 1 9. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuità ed eventuali asintoti della funzione h (x) =x arctanjxj (x 1) lnj2 xj 10. Usando il metodo gra co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n = 0; 1; 2;::: ) an+1 = 2 3pan 1 + 3pan al variare di a0 0. 2 Seconda prova parziale del 17/1/2018 (tempo: 2h 30min) 1. Sia h (x) = x 1 +px . Calcolare h0 (x) usando la de nizione di derivata. 2. Sia f (x) =  xg (x) se x6= 0 0 se x = 0 Dare condizioni necessarie e su¢ cienti sulla funzione g a¢ nché f sia derivabile in x = 0. 3. Calcolare il seguente limite: lim x!+1 x4 …