Seconda prova in itinere 2014 15 senza soluzioni

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Analisi Matematica 2 - 10 febbraio 2015 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 10) Sia f la funzione 2 π periodica, dispari, definita su [0 , π) da f (x) = { t2 t ∈ [0, 1] 4 − 3t t ∈ (1, π) (a) Disegnare un grafico qualitativo di f ; (b) scrivere la serie di Fourier di f ; (c) che cosa si pu` o dire sulla convergenza (in media quadratica e/o pun- tuale) di tale serie? (d) che cosa si pu` o dire sulla convergenza totale di tale serie sull’ intervallo (0, 2π)? 2. (Punti 10) Determinare la soluzione φ del problema di Cauchy { y′ = 2y tan t + y 1 2 y(0) = 1 precisando qual ` e il massimo intervallo su cui essa ` e soluzione. 3. (Facoltativo) (Punti 3) Considerato, per l’ equazione dell’ esercizio 2), il problema di Cauchy con condizione iniziale y(0) = 1 4 , si determini il massimo intervallo su cui la soluzione pu` o venir prolungata. 4. (Punti 10) Data l’equazione differenziale lineare a coefficienti non costanti y′′ + a(t)y′ + b(t)y = f (t) (1) (a) determinare a, b : R → R tali che le funzioni φ1(t) = t2 2 e φ2(t) = 3 t2 +1 siano soluzioni dell’ equazione omogenea associata; (b) per tali a e b, determinare f : R → R in modo che ψ0(t) = t2et sia soluzione dell’ equazione completa. (c) per tali a, b ed f , (1) avr` a soluzioni limitate su [0, +∞)? e su ( −∞, 0]? (d) per tali a, b ed f si risolva il problema di Cauchy    y′′ + a(t)y′ + b(t)y = f (t) y(1) = 0 y′(1) = 1