Seconda prova in itinere esercizi 1 febbraio 2017 senza soluzioni

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Analisi Matematica 2 - 1 febbraio 2017 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) Assegnato, in dipendenza dal parametro 2 R, il campo vetto- riale F (x; y) = ( x 2 √ x2 + y4 ) i + ( y √ x2 + y4 ) j stabilire per quali valori di F  e irrotazionale sul proprio dominio. Per tali valori di  stabilire su quali regioni del dominio il campo  e conservativo;  calcolare il lavoro del campo sull' arco di curva di equazione carte- siana y = px per x 2 [1; 4];  calcolare il lavoro del campo sull'ellisse di equazione x2 2 + y2 = 2. 2. (Punti 9) Si consideri la funzione de nita da f (x) = 1∑ n=0 xn. (i) Determinare l'intervallo di convergenza della serie che de nisce f . (ii) Scrivere esplicitamente f (x) e g(x) = f ( x4 16 ), precisando dove g  e somma della corrispondente serie. (iii) Dopo averne giusti cata l'integrabilit a termine a termine, calcolare per serie ∫ 1 0 f ( x4 16 ) dx. 3. (Punti 10) Determinare, su R, tutte le soluzioni dell'equazione (1) z" 4z′ 5z = 4e3 Determinare poi, su (0 ; +1), tutte le soluzioni dell'equazione di Eulero (2) t2y" 3ty′ 5y = 4t3 Detta ϕ la generica soluzione di (2),  e vero che deve essere lim t!+1 ϕ(t) = 1? In caso di risposta affermativa, che cosa si pu o dire sull'ordine di in nito di ϕ? Esistono soluzioni non banali dell'equazione omogenea associata a (2) che, per t ! +1, non sono in nite?