Serie di Fourier

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Martedí 6 Ottobre,Giovedí 8 Ottobre e Venerdí 9 Ottobre 2009 SERIE DI FOURIER L’obiettivo delle serie di Fourier è quello di esprimere una funzione periodica in termini di funzioni periodiche elementari, cioè mediante l e funzioni trigonometriche sin /ue0a2nx /ue0a3, cos /ue0a2nx /ue0a3. Chiamiamo polinomio trigonometrico reale di grado N una funzione di una variabile reale x esprimibile come somma finita della forma f/ue0a2x/ue0a3/u003da 0 2 /u002b/u2211 n/u003d1 N an cos /ue0a2nx /ue0a3/u002bbn sin /ue0a2nx /ue0a3 dove i coefficienti an, bn sono numeri reali. Naturalmente ogni polinomio trigonometrico è una funzione periodica con periodo 2/u03c0. Ricordiamo che una funzione f : R /u2192R si dice che ha periodo T (numero reale positivo) se soddisfa f/ue0a2x /u002bT/ue0a3/u003df/ue0a2x/ue0a3per ogni x /u2208R. Dato il polinomio trigonometrico f/ue0a2x/ue0a3, i coefficienti an, bn risultano univocamente identificati e precisamente si ha: a0 /u003d1/u03c0/u222b 0 2/u03c0 f/ue0a2x/ue0a3dx an /u003d1/u03c0/u222b 0 2/u03c0 f/ue0a2x/ue0a3cos /ue0a2nx /ue0a3dx bn /u003d1/u03c0/u222b 0 2/u03c0 f/ue0a2x/ue0a3sin /ue0a2nx /ue0a3dx Una generalizzazione dei polinomi trigonometrici è costit uita dalle serie trigonometriche, cioè serie della forma a0 2 /u002b/u2211 n/u003d1 /u221e an cos /ue0a2nx /ue0a3/u002bbn sin /ue0a2nx /ue0a3 Data una funzione di periodo 2/u03c0e integrabile nell’intervallo /ue0a40, 2/u03c0/ue0a5, i numeri an, bn, definiti dalle formule precedenti, vengono detti coeffici enti di Fourier della funzione f mentre la serie viene detta serie di Fourier associata alla f unzione f. Ci poniamo ora il problema di trovare delle condizioni suffi cienti affinché una funzione coincida con la somma della serie di Fourier ad essa associata. A tal proposito una condizione…