Serie di funzioni

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Venerdí 2 Ottobre 2009 SERIE DI FUNZIONI Una serie di funzioni è una serie i cui termini sono funzioni : /u2211 n/u003d0 /u221e fn/ue0a2x/ue0a3 dove le funzioni fn sono tutte definite in un insieme X e sono a valori in R o in C. Diciamo che una serie di funzioni converge puntualmente in u n punto x0 /u2208X se converge la serie numerica /u2211n/u003d0 /u221efn/ue0a2x0/ue0a3e si dice che converge puntualmente nell’insieme X se converge puntualmente in tutti i punti di X. Se la serie numerica /u2211n/u003d0 /u221efn/ue0a2x/ue0a3converge puntualmente in X, il limite è una funzione di x, e viene denotata con S/ue0a2x/ue0a3/u003d. /u2211n/u003d0 /u221efn/ue0a2x/ue0a3. Nozione di convergenza totale. Diciamo che la serie di funzioni /u2211n/u003d0 /u221efn/ue0a2x/ue0a3converge totalmente se converge la serie numerica /u2211 n/u003d0 /u221e sup x/u2208X |fn/ue0a2x/ue0a3|. In questo caso la serie risulta anche convergente puntualme nte in X. Teorema. Se una serie converge totalmente in un insieme X /u2282R e se le funzioni fn sono continue allora anche la funzione somma è continua in X. Se la convergenza non fosse totale ma solo puntuale in X allora il limite potrebbe non essere una funzione continua. Serie di potenze. Una serie di funzioni del tipo: /u2211 n/u003d0 /u221e an/ue0a2x /u2212x0/ue0a3n si chiama serie di potenze centrata in x0, dove an è una successione di numeri reali. Nel caso in cui x0 /u003d0 la serie di potenze si dice che è centrata nell’origine e assu me la espressione /u2211 n/u003d0 /u221e anxn Proprietá delle serie di potenze centrate in 0: 1) L’insieme di convergenza é un intervallo centrato in 0 2) La funzione somma di una serie di potenze é continua e infin itamente derivabile in tutti i punti interni all’intervallo di convergenza 3) Se esiste il…