sol 02 07 2015B

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An.II – Bio 2/7/2015 tema B 1/4 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… Esercizio 1 2 3 T Tot Voto Consegnare solo questi fogli. Domande di teoria 1. (1+3) Si enunci e si dimostri il criterio del confronto asintotico per serie numeriche. 2. (1+2) Si enunci e si dimostri il teorema sulla struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea. 3. (1+1+1) Si dia la definizione di insieme y-semplice e si scriva la formula di riduzione per il calcolo di integrali in insiemi y -semplici. Si scriva poi la formula per il calcolo di integrali in coordinate polari. An.II – Bio 2/7/2015 tema B 2/4 Ex 1. (a) Si studi, al variare del parametro β reale, il comportamento della serie ( ) ( )( ) + = − −+ 2 3 23 log log3log k k kek kkk  (b) Si calcoli la somma della serie ( ) + = −− 1 8 42 k k kk (c) Data la successione  ka , con 0ka , Nk , dimostrare che se la serie ( ) + =1 2 k ka è divergente, allora lo è anche la serie  + =1k ka . Soluzione (a) serie a termini positivi: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 3 1 3 23 log 1log log log3log kek k kek kkka kkk − += − −+= −  ~ ( )( ) 31 log 1 kek + = 4 1 +k Per il criterio del confronto asintotico, ricordando il comportamento della serie armonica generalizzata, si conclude che se 3− (cioè 14 + ), la serie converge, se 3− , (cioè 14 + ), la serie diverge. (b) La serie data è somma di due serie geometriche convergenti ( ) =−−  + =1 8 42 k k kk           − + −− − =           −−     + = 1 2 11 11 4 11 1 2 1 4 1 1k kk = 3 2 (c) Si consideri la successione ( )  2 ka . Possono verificarsi due casi: - ( ) 0lim 2 =+→ kk a  0lim =+→ kk a  per k abbastanza grande, 1ka e quindi ( ) kk aa  2  per il criterio del confronto, la serie …