sol 03 02 2016

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An.II – Bio 3/2/2016 1/5 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T 1 2 3 4 5 Tot Voto Consegnare solo questi fogli. Domande di teoria 1. (2 pt) Si dia l’equazione del piano tangente. 2. (2+3 pt. ) Si enunci e si dimostri il teorema sul calcolo del lavoro nel caso di un campo conservativo. 3. (3 pt.)Si enunci il teorema sulla struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea. An.II – Bio 3/2/2016 2/5 Ex 1 Si calcoli la lunghezza della curva γ di equazioni parametriche ( )tsentt 5,2,cos2 per  2,0t . Soluzione ( ) ( )tsenttt 5,2,cos2=r , ( ) ( )5,cos2,2' tsentt −=r , ( ) 35cos44' 22 =++= ttsentr ( ) ( )   63' 2 0 2 0 ===  dtdttl r Ex 2 Si calcoli  +D dxdyyx yx 22 2 , dove ( ) xyyxyxD += 0 ,21:, 22 . Si consiglia di disegnare D . Soluzione Passando a coordinate polari, posto, ( )   =  4 3 oppure 40 ,21:,'D , per motivi di simmetria, risulta: =+ D dxdyyx yx 22 2 ( ) =−=          4 0 32 1 3 4 0 2 1 22 3 cos 3 2cos2   ddsen ( ) ( ) 9 4 2 2 22 111229 21 22 11229 2 −=     −−=     −−−= An.II – Bio 3/2/2016 3/5 Ex 3 (a) Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale 013'6'' =+− zzz . (b) Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale 122613'6'' −=+− xyyy . Soluzione (a) equazione differenziale omogenea : 013'6'' =+− zzz equazione caratteristica : 01362 =+− rr ir 231393 =−= Integrale generale dell’equazione omogenea : ( ) xsenecxecxz xx 22cos 3 2 3 1 += , R 21 , cc (b) ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa: ( ) baxxu += , ( ) axu =' , ( ) 0'' =xu sostituendo 122613136 −=++− xbaxa  2=a , 0=b  ( ) xxu 2= L’integrale generale richiesto è : ( ) xxsenecxecty xx 222cos 3 2 3 1 ++= , R 21 , cc…