sol 04 09 2015

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1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Biomedica ) 04/09/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Esercizio teoria 1 2 3 4 Totale Voto Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (3 pt.) Dare la definizione dell’integrale di un campo vettoriale lungo una curva. 2. (2 pt.) Enunciare e dimostrare il criterio del confronto per le serie numeriche. 3. (2 pt) Enunciare il teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili. 2 Ex 1 Stabilire se il campo ( ) ( ) ( ) kjiF 2,, zzyyxzyx +−++= è conservativo. Calcolare il lavoro di F lungo la curva di equazione parametrica ( ) ( )232 ,, tttt =r con  1,0t . Sol. Risulta ( )21C RF  e =Frot 2zzyyx zyx −+  kji ki −= 0 Il campo F non è irrotazionale, e non può quindi essere conservativo. Il lavoro, in base alla definizione, è dato da: ( ) ( )   =+−++==  1 0 522332 232 dttttttttL drF   15 17 5 1 3 4 2 1 5 1 6 5 256525 1 0 4561 0 345 =−=+−=+−=+− tttdtttt 3 Ex 2 a) calcolare l’integrale generale dell’equazione ( ) 03'2'' =−+− zzz  , al variare del parametro reale  eq. caratt. ( ) 0322 =−+− rr , 211 −−= r , 212 −+= r L’integrale generale è: - se 2 , ( ) xrxr ececxz 21 21 += , R 21,cc - se 2= , ( ) xx xececxz 21 += , R 21,cc - se 2 , ( ) ( ) ( )xecxsenecxz xx  −+−= 2cos2 21 , R 21,cc b) calcolare l’integrale generale dell’equazione (1) xsenxyyy cos22'2'' +=+− ( si osservi che la sua omogenea associata coincide con la equazione omogenea del punto a) per 1= ) - ricerca di una soluzione particolare di xsenxyyy cos22'2'' +=+− ( ) xbasenxxu cos+= , ( ) bsenxxaxu −= cos' , ( ) xbasenxxu…