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1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Biomedica ) Prima prova in itinere 17/7/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (2 pt.) Enunciare il teorema di Fermat per una funzione di due variabili e dare un esempio di funzione di due variabili dotata di un punto critico che non è punto di estremo. 2. (5 pt.) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per serie numeriche. 3. (3 pt) Enunciare il teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy posto per un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale. 2 Ex 1 Dopo aver verificato la validità del teorema di esistenza ed unicità, determinare le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy (a) ( )   = −= 20 ' 3 y yyy (b) ( )   = −= 10 ' 3 y yyy Sol. (a) Posto ( ) 3, yyytf −= , ( ) 231, yytf y −= , risulta che f ed yf sono entrambi continue nel piano, per cui, il problema di Cauchy posto per questa equazione ammette sempre una e una sola soluzione. Ricerca dell’integrale generale dell’equazione 3' yyy −= Equazione a variabili separabili Posto ( ) 3yyyb −= , risulta ( ) 0=yb se 0=y o 1=y ; quindi le funzioni costanti 0y , 1y e 1−y sono soluzioni dell’equazione in R Separando le variabili  =− dtyy dy 3 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 222 3 1111 1 yy ycbycaba yy cycybybyaya y c y b y a yy − ++−−+=− −+++−=++−+=−    =+ =−− = 0 0 1 cb cab a    =+ =− = 0 1 1 cb cb a        −= = = 2 1 2 1 1 c b a  ( ) ( )yyyyy +−−+=− 12 1 12 111 3 Segue: ( ) ( ) =    +−−+=− dyyyyyy dy 12 1 12 11 3 yyy +−−− 1log2 11log2 1log 21…