sol 27 04 2018 A

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Tema A 1 ANALISI MATEMATICA II (ing. Biomedica) Prima prova in itinere 27/04/2018 Cognome: …............................................. Nome: ………………………………. Matricola: ……… Teoria Ex 1 Ex 2 Ex 3 Totale Istruzioni: Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (2 punti) Sia 2:f RR . Quale è vera fra le seguenti affermazioni? (a) se f è differenziabile in  00,xy , allora f è continua in  00,xy , (b) se f è continua e derivabile in  00,xy , allora f è differenziabile in  00,xy , (c) se f è derivabile in  00,xy , allora f è continua in  00,xy , (d) se f ha un punto di massimo in  00,xy , allora f è differenziabile in  00,xy . 2. (2 punti) Sia       12, , , ,x y F x y F x yF con dominio    2 2 2, : 1D x y x y    R ,   1CDF . Allora: (a) condizione necessaria e sufficiente affinché F sia conservativo è che sia irrotazionale su D , (b) condizione necessaria ma non sufficiente affinché F sia conservativo è che su tutto D valga l’uguaglianza    21 ,,xyF x y F x y   , (c) condizione necessaria ma non sufficiente affinché F sia conservativo è che su tutto D valga l’uguaglianza    12 ,,xyF x y F x y   , (d) condizione sufficiente affinché F sia conservativo è che esista una curva chiusa lungo la quale il lavoro del campo è nullo. 3. (2 punti) Definizione di curva regolare. 4. (4 punti) Formula del gradiente (enunciato e dimostrazione). Scrivere sul retro del foglio. Tema A 2 Ex 1 (7 punti) Sia dato il campo vettoriale       3 222 4 2 433 24, xyxy x y x y   F i j . (a) determinarne il dominio e stabilire se il campo è irrotazionale Il campo è definito là dove 24 0xy  , cioè in   2 \ 0R . Si osserva che…