sol 29 01 2019

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An.II – Bio 29/01/2019 1/4 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Tot Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. Q1. Sia   \ 0, 0D y y  22RR . Sia       12, , , ,x y F x y F x yF un campo con dominio D ,   1CDF . Allora: (a) condizione necessaria e sufficiente affinché F sia conservativo su D è che su tutto D valga l’uguaglianza    21 ,,xyF x y F x y   ; (b) condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché F sia conservativo è che sia irrotazionale su D ; (c) condizione necessaria e sufficiente affinché F sia conservativo su D è che su tutto D valga l’uguaglianza    12 ,,xyF x y F x y   ; (d) condizione sufficiente affinché F sia conservativo è che esista una curva chiusa lungo la quale il lavoro del campo è nullo. Q2. Sia :fD 2RR , sia D aperto e 0 Dx . Allora: (a) se f ed xf sono continue in 0x , f è differenziabile in 0x ; (b) se f ha tutte le derivate parziali su D ed esse sono continue in 0x , f è continua in 0x ; (c) se    00D f f   v x x v per ogni versore v , f è differenziabile in 0x ; (d) se f è differenziabile in 0x , tutte le sue derivate parziali esistono e sono continue in 0x . Q3. Sia   : \ 0,0f 2RR . Sia  ,f  la sua forma polare, rispetto al polo  0,0 . (a) Se, comunque si fissi  ,  ,0f   se 0  , allora      , 0,0lim , 0xy f x y  ; (b) se  ,4f sen    , allora      , 0,0lim , 0xy f x y  ; (c) se   1,f   , allora      , 0,0lim ,xy f x y   ; (d) in base alle informazioni fornite, nessuna delle precedenti affermazioni è necessariamente vera. Teorema di struttura delle soluzioni di un’equazione lineare completa (solo enunciato). Qual’è il carattere di 1 1 n n    al variare di   R . Dimostrare solo…