Stimatori

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STIMA TORI PUNTUALI: esercizi con soluzioni. Esercizio 1 Sia X1, . . . , X n un campione Γ( α, λ ), α, λ > 0 parametri incogniti. Determi- nare gli stimatori di α e λ con il metodo dei momenti. Risposta: Si ha E( X1) = α/λ e E( X 2 1 ) = Var( X1) + E( X1)2 = α/λ 2 + α2/λ 2 = α(α + 1)/λ 2. Quindi: ¯m1 := X n = α λ ¯m2 := 1 n n∑ k=1 X 2 k = α(α + 1) λ2 , la cui unica soluzione ` e ¯α = ¯m2 1/ ( ¯m2 − ¯m2 1), ¯λ = ¯m1/ ( ¯m2 − ¯m2 1). Esercizio 2 Sia X1, . . . , X n un campione U(a, b ), a < b parametri incogniti. Determinare gli stimatori di a e b con il metodo dei momenti. Risposta: Si ha E( X1) = ( a + b)/ 2 e E( X 2 1 ) = Var( X1) + E( X1)2 = ( b − a)2/ 12 + ( a + b)2/ 4 = (a2 + ab + b2) / 3. Quindi: ¯m1 := X n = a + b 2 ¯m2 := 1 n n∑ k=1 X 2 k = a2 + ab + b2 3 le cui soluzioni sono a = ¯m1 ± √ 3( ¯m2 − ¯m2 1), b = ¯m1 ∓ √ 3( ¯m2 − ¯m2 1). Poich´ ea < b lo stimatore cercato ` e ¯a = ¯m1 − √ 3( ¯m2 − ¯m2 1), ¯b = ¯m1 + √ 3( ¯m2 − ¯m2 1). Esercizio 3 Sia X1, . . . , X n un campione U(0, θ ), θ > 0 parametro incognito. Determinare lo stimatore di θ con il metodo dei momenti e con il metodo della massima verosimiglianza. Risposta: Si ha E( X1) = θ/ 2, ¯m1 := X n = θ/ 2, ¯θ = 2 ¯m1 ` e lo stimatore ottenuto col metodo dei momenti. Per il metodo della massima verosimiglianza si osservi che L(θ; X) = 1 /θ n e che ne- cassariamente θ ≥ X1,. . . , θ ≥ Xn (poich´ eXk ∈ (0, θ ) per ogni k = 1 , . . . , n ). Quindi θ ≥ max{X1, . . . , X n}. Il massimo di L(θ; X) = 1 /θ n si ha per ˆθ = max{X1, . . . , X n}. Esercizio 4 Sia X1, . . . , X n un campione N (µ, σ 2). 1. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza (ˆ µ, ˆσ2) di ( µ, σ 2) quando en- trambi i parametri sono incogniti, determinare la distorsione di ˆ σ2, determinare l’errore quadratico medio di ˆσ2. 1 Risposta: Si…