Strutture algebriche

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Definizione 1. Sia A un insieme non vuoto. Un’applicazione ∗ :A×A→A si dice legge di composizione interna o operazione su A. La coppia ordinata ( A,∗) si dice struttura algebrica, della quale A ` e ilsostegno. Osservazione 1. Siano (A,∗) una struttura algebrica, (x,y )∈ A×A. Allora, invece di scrivere∗ ( (x,y ) ) , si scrive x∗y. Definizione 2. Si dice che la legge di composizione∗ sull’insiemeA verifica la propriet` a associativa oppure che la struttura algebrica (A,∗) ` e associativa se ∀x,y,z ∈A, (x∗y)∗z =x∗ (y∗z). Definizione 3. Sia (A,∗) una struttura algebrica. Si dice che (A,∗) ammette elemento neutro se ∃ e∈A tale che ∀x∈A x ∗e =e∗x =x. Naturalmente in tal caso e si dice elemento neutro. Proposizione 1. Se la struttura algebrica (A,∗) ammette elemento neutro, esso ` e unico. Dimostrazione. Siano e1 ed e2 elementi neutri della struttura. Allora e1 =e1∗e2 =e2. Definizione 4. Una struttura algebrica associativa e che ammette elemento neutro si dice monoide. Esempio 1. Si pu` o osservare facilmente che (N, +) e ( Z,·) sono monoidi. Esempio 2. Sia A un insieme non vuoto. Allora la struttura algebrica ( AA,◦) avente per sostegno l’insieme AA delle applicazioni bigettive di A in s´ e, e come operazione la composizione tra applicazioni◦, risulta essere un monoide. Infatti◦ verifica la propriet` a associativa e l’elemento neutro ` e l’applicazione identicaidA. Esempio 3. Siano A un insieme, n∈ N. Se a1,a 2,...,a n∈A, la successione ordinata wn =a1a2...a n si dice parola di lunghezza n su A. Esiste un’unica parola priva di elementi, la parola vuota, che si indica con w0 (su qualunque insieme). Per ogni n∈ N, si indica con Wn l’insieme di tutte le parole di lunghezza n su A e si pone: W = ⋂ n∈N Wn. Si definisce una legge di composizione interna · suW, detta giustapposizione, nel…