Successioni e serie di funzioni

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Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni Esercizio1.Calcolare il limite puntuale di fn(x)= x x2+1 n ,x 2[0,+1). Dimostrare che non si ha convergenza uniforme su (0,+1), mentre si ha convergenza uniforme su [a,+1) per ognia>0. Svolgimento.Per ognix6=0s ih a limn!+1 fn(x)= l i mn!+1 x x2+1 n =1 x, mentre perx=0s ih a limn!+1 fn(0) = 0. Dunque il limite puntuale ` e f(x)= (1 x sex6=0 0s e x=0. Non pu` o esserci convergenza uniforme su [0,+1)p e r c h ´ ef` e discontinua inx= 0. Si ha invece convergenza uniforme su ogni semiretta [a,+1) cona>0: infatti, si ha8x2[a,+1) (1) ♣fn(x)°f(x)♣= ØØØØ x x2+1 n °1 x ØØØØ= ØØØØ x x2+1 n °1 x ØØØØ= ØØØØØ °1 n x ° x2+1 n ¢ ØØØØØ∑1 na3 dove, per concludere l’ultima disuguaglianza, ` e stato usato il fatto che x µ x2+1 n ∂ ∏x3∏a3 8x2[a,+1). Segue allora da (1) che sup x2[a,+1) ♣fn(x)°f(x)♣∑1 na3!0p e rn!1. Esercizio2.Calcolare il limite puntuale su [0,+1)d i fn(x)=1+nsin µxarctan(x)l n (x2+ 1) n2 ∂ . Il limite ` e anche uniforme? Svolgimento.Convergenza puntuale. Si osservi che per ognix∏0s ih a xarctan(x)l n (x2+ 1) n2 !0p e rn!+1, quindi, ricordando che sin(z)ªzperz!0, abbiamo sin µxarctan(x)l n (x2+ 1) n2 ∂ ªxarctan(x)l n (x2+ 1) n2 1 es ih a limn!+1 nsin µxarctan(x)l n (x2+ 1) n2 ∂ =l i mn!+1 nxarctan(x)l n (x2+ 1) n2 =0. Dunque fn!1 puntualmente . |Strategia generaleper provare che fnNON converge uniformemente al limite puntualefsuI •mostrare che esiste una successione{xn}ΩItale che ♣fn(xn)°f(xn)♣ 6!0p e rn!1. •Allora non pu` o esserci convergenza uniforme suI,p e r c h ´ es ih a sup x2I ♣fn(x)°f(x)♣∏♣fn(xn)°f(xn)♣ 6!0! |Studio della Convergenza uniforme. Mostriamo che la convergenza di{fn}non ` e uniforme. Consideriamo ip u n t ixntali che (2) sin µxnarctan(xn)l n (x2 n+ 1) n2 ∂ =1. Per questi punti si ha…