Summary of the theory with definitions

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1) Descrivere il tensore degli sforzi di Cauchy Il tensore degli sforzi di Cauchy è una matrice 3x3 contenente i valori delle tensioni interne ad un solido definito come tetraedro di Cauchy, raffigurante gli stati di sforzo normali e tangenziali alle facce dello stesso. Il tensore si ricava imponendo l’equilibrio alla traslazione del tetraedro: 𝑅=0→𝜎&𝑑𝐴&−𝜎*𝑑𝐴*−𝜎+𝑑𝐴+−𝜎,𝑑𝐴,+𝑏𝑑𝑉=0 dove le forze di volume 𝑏 sono trascurabili in quanto infinitesimi di terzo ordine. Successivamente si deduce la simmetria del tensore tramite l’equilibrio alla rotazione intorno ai 3 assi: 𝑥*:− 𝜎,+𝑑𝐴,𝑑𝑥,3−− 𝜎+,𝑑𝐴+𝑑𝑥+3=0⇒𝜎+,=𝜎,+⇒𝜎 simmetrico Risulta così che lo sforzo è caratterizzato da sole 6 componenti indipendenti. 2) Spiegare la natura matematica del legame spostamenti-deformazioni quando gli spostamenti sono piccoli L’ipotesi di piccoli spostamenti implica che la posizione finale di un punto non si discosta di molto da quella iniziale. Si può porre quindi il vettore spostamento del generico punto P come 𝑢>=𝑢+𝜕𝑢𝜕𝑥𝑑𝑥 dove 𝑢 rappresenta la traslazione rigida e @A@B=𝐴 è il tensore gradiente di spostamento, il quale è scomponibile in una parte simmetrica e una emisimmetrica: 𝜀=*+(𝐴+𝐴E) 𝜔=*+(𝐴−𝐴E) che sono rispettivamente il tensore delle piccole deformazioni e il tensore delle piccole rotazioni. 3) Spiegare la differenza tra sforzo normale e sforzo tangenziale Gli sforzi normali sono sforzi agenti perpendicolarmente alle superfici ortogonali alle direzioni principali, mentre gli sforzi tangenziali sono le componenti che agiscono parallelamente alle stesse. 4) Spiegare il significato di deformazione tangenziale Le deformazioni tangenziali sono dovute agli sforzi tangenziali, ossia, considerando il tensore delle piccole deformazioni 𝜀, le componenti a indici diversi. Queste sono pari a metà degli…