TdE 17 luglio 2020 senza soluzione

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Analisi Matematica 2 - prof. E.Maluta - 17 luglio 2020 Ogni risposta va scritta nello spazio individuato dal numero del corrispondente quesito sul foglio delle risposte e va motivata con calcoli o/e spiegazioni sintetiche. 1. Data la funzionef definita daf(x,y ) = sin|x3y5| calcolarne il gradiente in(0, 0) e stabilire sef è differenziabile in(0, 0). 2. Per la funzionef del punto precedente, calcolare, dopo averne giustificata l’esistenza, la derivata nella direzione del generico versorev nel punto (1,−1). 3. Scrivere il polinomio di MacLaurin di grado 2 della funzionef definita daf(x) = log(1 +x2 + 3xy) +x10y8; 4. Data la curva di equazione parametricar(t) = (t3,t 2) 0≤t≤ 2, dire se è chiusa, se è semplice e calcolarne la lunghezza. 5. Calcolare il rotore e la divergenza del campoF definito da F(x,y,z ) = (x,xy,xyz ). 6. Calcolare il volume del solido compreso tra il pianoxy e la superficie d’equazionez =x2y che si proietta ortogonalmente nella regione piana Ω ={(x,y )∈ R2 : 1≤x≤ 2∧ 0≤y≤ 1 x} 7. Trovare i punti di massimo e minimo assoluto della funzionef(x,y ) = 3√ x2+y2 sul vincolox2 +y2− 4(x +y) = 10; 8. Sviluppare in serie di Mc Laurin la funzionef(x) = ∫ x2 0 1 1−t4dt precisando il raggio di convergenza; 9. Siaf la funzione2π periodica che coincide conf(x) =x sinx in (−π,π ]. Disegnarne un grafico qualitativo e calcolare i suoi coefficienti di Fourier a1 e b2. 10. Considerata la serie di Fourier della funzionef dell’esercizio precedente, dire se essa converge in media quadratica e/o puntualmente adf, giustificando la risposta. 11. Determinare, al variare diα∈ R, tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y′′− 10αy′ + 16α2y = 0 (1) 12. Risolvere, perα = 3 l’equazione y′′− 10αy′ + 16α2y =e6t + 5 (2) 13. Scrivere un esempio di problema di Cauchy per un’equazione a…