TdE 19 gennaio 2018 senza soluzione

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Analisi Matematica 2 - 5 febbraio 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) Data la funzione f definita da f(x,y ) = { (earctan x− 1) xy2 x2+y2 (x,y )̸= (0, 0) 0 ( x,y ) = (0, 0) • studiarne la continuit` a, l’esistenza delle derivate parziali, di tutte le derivate direzionali e la differenziabilit` a in (x,y ) = (0, 0). • scrivere l’equazione del piano tangente al grafico dif nel punto (1, 2,f (1, 2)). 2. (Punti 9) Sia f la funzione 2π periodica definita su [−π,π ) daf(x) = x−|x| 2 : (a) disegnare il grafico e scrivere la serie di Fourier di f; (b) che cosa si pu` o dire sulla convergenza puntuale e/o sulla convergenza in media quadratica di tale serie? (c) che cosa si pu` o dire sulla convergenza totale di tale serie sull’ intervallo (−π,π )? 3. (Punti 10) Data l’equazione differenziale y′′′−αy′′ +y′−αy = 1 a) determinare, al variare di α ∈ R, l’integrale generale dell’equazione omogenea associata; b) determinare, al variare di α ∈ R, l’integrale generale dell’equazione completa; c) stabilire per quali valori di α esistono soluzioni periodiche dell’equazione completa e determinarle; d) stabilire se esistono valori di α per cui tutte le soluzioni dell’equazione completa sono periodiche. (Nel caso si incontrassero difficolt´ a nell’uso del parametro, risolvere l’esercizio per α = 1 e α = 0.)