TdE 8 febbraio 2023 testo e soluzioni

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Ing. Informatica e Gestionale - Agricultural Eng. - Politecnico di Milano - sede di Cremona Analisi Matematica II - secondo appello - 8 febbraio 2023 LE RISPOSTE AI QUESITI V ANNO MOTIV A TE. TEORIA (SI DEVONO OTTENERE ALMENO 4 PUNTI) Teoria 1. (3 punti) Scrivere la definizione di curva in forma parametrica in R3, di curva regolare e regolare a tratti e presentare opportuni esempi per illustrare le definizioni date. Teoria 2. (5 punti) Fornire la definizione di punto di massimo locale e di punto di minimo locale per una funzione f : R2→ R. Enunciare e dimostrare la condizione sufficiente per l’ottimalit` a (test dell’Hessiana). ESERCIZI Es. 1 (12 punti) Sia f la funzione f(x,y ) =|x| 3√y. (a) (6 punti) Determinare dove f ` e continua, dove ` e derivabile e dove ` e differenziabile. (b) (1 punto) Calcolare, se possibile, la derivata direzionale di f in (0, 0) lungo la direzione v = (1, 1). (c) (5 punti) Calcolare l’integrale ∫∫ D |x| 3√ydxdy dove D = { (x,y )∈ R2 :x2≤y≤ 2−x2} . Soluzione. (a) Continuit` a:f ` e continua inR2, poich´ e combinazione di funzioni continue. Derivabilit` a:la derivate parziale di f rispetto ad x ` e definita per ogni (x0,y 0) con x0̸= 0 e vale ∂xf(x0,y 0) = { 3√y0 se x0> 0 − 3√y0 se x0< 0 Se y0 = 0 allora f(x, 0)≡ 0, quindi esiste ∂xf(0, 0) = 0. Studiamo l’esistenza della derivata parziale rispetto a x nei punti (0,y 0), con y0̸= 0 utilizzando la definizione. lim h→0+ f(h,y 0)−f(0,y 0) h = lim h→0+ h 3√y0 h = 3√y0 mentre lim h→0− f(h,y 0)−f(0,y 0) h = lim h→0− −h 3√y0 h =− 3√y0 quindi non esiste ∂xf(0,y 0) se y0̸= 0. La derivate parziale di f rispetto ad y ` e definita per ogni (x0,y 0) con y0̸= 0 e vale ∂yf(x0,y 0) = |x0| 3 3 √ y2 0 . Se x0 = 0 allora f(0,y )≡ 0, quindi esiste ∂yf(0, 0) = 0. Studiamo l’esistenza della derivata parziale rispetto a y…