TdE A 2 marzo 2015 con soluzioni

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ANALISI MATEMATICA 2 - Prof. E.Maluta. 2 marzo 2015 COMPITO A 1. (Punti 9) Risolvere i problemi di Cauchy { y′ + 3t2y4 = 0 y(−1) = 1 3 e { y′ + 3t2y4 = 0 y(−1) = 0 precisando, per ciascuna soluzione, il massimo insieme in cui essa esiste ed ` e unica ed il suo comportamento agli estremi di tale insieme. Equazione a variabili separabili; y(t) = 0∀t∈ R ` e soluzione. Postof(t) = 3t2 eg(t) =y4 osserviamo che f, g∈ C∞(R), quindi vale il teorem di esistenza e unicit´ a locale per la soluzione del problema di Cauchy per ogni ( x0,y 0)∈ R2. Separando le variabili, per y̸= 0, otteniamo y′ y4 =−3t2 quindi 1 3y3 =t3 +c e y(t) = 1 (3t3 +c) 1 3 . 1 27 = (y(−1))3 = 1 −3 +c da cui c = 30; La soluzione del I problema di Cauchy ` eφ(t) = 1 (3t3+30) 1 3 , continua su ( −∞,−10 1 3 ) e su ( −10 1 3, +∞ ) . Poich´ e−10 1 3 <−1 concludiamo cheφ ` e soluzione (unica) su ( −10 1 3, +∞ ) ; limt→(−10 1 3 )+φ(t) = +∞. Il secondo problema di Cauchy ha la (unica) soluzione identicamente nulla. 2. (Punti 13) Sia Ω ={(x,y,z )∈ R3 : x2 +y2≤ 1 2∧ √ x2 +y2≤z≤ √ 1−x2−y2}. Supponendo che Ω sia costituito di materiale omogeneo , determinarne (a) il baricentro; (b) il momento d’inerzia. Poich´ e Ω ` e omogeneo, dettaδ la densit` a la sua massa ` e proporzionale al volume,M =δVΩ, e il baricentro ` e il centroide. Dette (¯x, ¯y, ¯z) le coordinate del baricentro, per la simmetria radiale rispetto all’asse z di Ω si ha ¯x = ¯y = 0, mentre ¯z = 1 VΩ ∫ Ω zdxdydz. Calcoliamo VΩ passando in coordinate cilindriche; abbiamo ˜Ω ={(ρ,θ,z ) : ρ≤ 1√ 2∧ ρ≤z≤ √ 1−ρ2} (La seconda condizione implica ρ2≤ 1 2, sempre verificata in ˜Ω.) VΩ = ∫ Ω dxdydz = ∫ ˜Ω ρdρdθdz = = ∫ 2π 0 dθ ∫ 1√ 2 0 ρ (∫√ 1−ρ2 ρ dz ) dρ = 2π ∫ 1√ 2 0 ( ρ √ 1−ρ2−ρ2 ) dρ = = 2π ( −(1−ρ2) 3 2 3 − ρ3 3 ) 1√ 2 0 = 2π 3 ( 1− 1√ 2 ) . In maniera analoga…