TdE A 3 settmbre 2018 senza soluzione

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Analisi Matematica 2 - 3 settembre 2018 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9) Data la funzione f definita da f(x,y ) =−x−y2 i) disegnarne le curve di livello 0 , 1,−4; ii) determinare per quali valori di k le curve di livello k della funzione f intersecano l’insieme D ={(x,y )∈ R2 :|x| +|y|≤ 5}; iii) determinare (se esistono) il massimo e il minimo assoluto di f su D. 2. (Punti 9) Assegnata, al variare di α∈ R, la forma differenziale ω = 2xzdx + (α2− 2α)z2dy + (6yz−αx2)dz determinare il valore di α per cui la forma differenziale ´ e esatta e, per tale α, calcolarne il potenziale che vale 3 in (0 , 0, 0). 3. (Punti 10) Data l’equazione differenziale y′ = 1 +y2 ty , (1) (a) si stabilisca per quali ( t0,y 0)∈ R2 ` e applicabile il teorema di esistenza e unicit` a locale per il problema di Cauchy { (1) y(t0) =y0 ; (b) si stabilisca se l’equazione ammette soluzioni costanti; (c) si risolva il problema di Cauchy con y(1) =−1, determinando il mas- simo intervallo di prolungabilit` a della soluzione; (d) si risolva il problema di Cauchy con y(−1) = 1, determinando il mas- simo intervallo di prolungabilit` a della soluzione.