TdE B 26 febbraio 2016 con soluzioni

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Analisi Matematica 2 - 26 febbraio 2016 Prof. E. Maluta Cognome: Nome: Matricola: Compito A 1. (Punti 9 ) Si consideri la funzione periodica di periodo T = 3, definita da: f(x) =    0 se 0 <x ≤ 1 1 se 1 <x ≤ 2 2 se 2 <x ≤ 3 . (i) Disegnare il grafico di f sull’intervallo [−6, 6]. (ii) Calcolare i coefficienti di Fourier di f. (iii) Discutere la convergenza (in media quadratica, puntuale, totale) della serie di Fourier di f. 2. (Punti 9) Si consideri l’equazione differenziale y′ = y t + t y. (i) Determinare l’integrale generale dell’equazione; (ii) determinare la soluzione φ del problema di Cauchy con condizione ini- ziale y(−e) =−e, precisando il dominio su cui φ ` e soluzione. Esistono soluzioni dell’equazione definite su tutto (−∞, 0) o su (0, +∞)? 3. (Punti 10) Siaf : R2−→ R, la funzione definita daf(x,y ) =e−2(x+y)( x2 +y2− 1 ) e sia P0 il punto di coordinate ( 1√ 2,− 1√ 2 ) . (a) Dopo aver giustificato l’esistenza del piano tangente al grafico di z = f(x,y ) nel punto (P0,f (P0)), scriverne l’equazione; (b) calcolare in (P0) la derivata nella direzione del versore che individua la bisettrice del III quadrante; (c) determinare eventuali punti di massimo o minimo (globale o locale) di f su R2; (d) posto D ={(x,y )∈ R2 : x2 +y2≤ 2}, stabilire se esistono massimo e minimo assoluti dif suD, e, in caso affermativo, determinarne i valori.