TdE B 31 agosto 2020 senza soluzione

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Analisi Matematica 2 - prof. E.Maluta - 31 agosto 2020 Ogni risposta va scritta nello spazio individuato dal numero del corrispondente quesito sul foglio delle risposte e va motivata con calcoli o/e spiegazioni sintetiche. 1. Stabilire per quali valori diα> 0 esiste lim (x,y)→(0,0) x2y3 (x2 +y2)α e, quando esiste, calcolarlo. 2. Data la funzionef (x,y ) = y−|x|y2, calcolare le derivate parziali prime nel punto(0, 0). 3. Verificare che la funzionef dell’esercizio precedente non ammette suℜ2 né punti di massimo né punti di minimo locale. 4. Determinare e disegnare l’insieme di livello zero della funzionef dell’esercizio 2. 5. Stabilire per quali valori dei parametri realia e b è conservativo il campo vettoriale F (x,y ) = (x4 + 3ax2y +bxy2,x 2y−x3 +ay4). 6. Per i valori dia e b per cui il campoF dell’esercizio precedente è conservativo, calcolare il lavoro del campo lungo l’arco della parabola di equazione x = 2y2 percorso dal punto(0, 0) al punto (2, 1). 7. Determinare l’insieme di convergenza puntuale della serie di potenze ∞∑ n=0 2n− 1 3n + 1 (x− 1)n, precisando se è chiuso, aperto, né aperto né chiuso. 8. Sia T il triangolo delimitato dalle rette di equazionex = 0, y = 0, x +y = 1; calcolare ∫ T (x + 2y)dxdy. 9. Dato il problema di Cauchy { y′ = 2 3√ty y(t0) = y0, dire per quali coppie(t0,y 0) è garantita, almeno localmente, esistenza e unicità della soluzione. 10. Dato il problema di Cauchy precedente, determinare, se esiste, una soluzione non nulla del problema con condizione inizialey(0) = 0. 11. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenzialey′′(t)− 2y′(t)− 3y(t) = t. 12. Se| cosx| = a0 2 + ∞∑ n=1 (an cosnx +bn sinnx), quanto valgonoa0, a1, b1? 13. Siaf una funzione 2π-periodica. Sotto quali ipotesi suf si può garantire che la sua serie di Fourier…