Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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F ONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 20/7/2016 COGNOME:___________ __ _________ NOME: ______________________ MATR ICOLA o CODICE PERSONA : ________________________ FIRMA: ____________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza esposi tiva . 1) Una società di noleggio auto affitta vetture alle aziende con l e formul e del Noleggio di durata Mensile (NM) o Bimes trale (NB). All'inizio di ciascun mese vengono date in affitto vetture, di cui 2/3 con la formula NM e 1/3 con la formula NB. L'importo dell'affitto è riscosso posticipatamente: euro al termine del noleggio NM, e euro al termine di ciascun mese del noleggio NB. a) Si descriv a l'evoluzione nel tempo delle auto affittate mediante un sistema dinamico a tempo discreto, definendo come variabile di uscita l'affitto complessivo riscosso all'istante . b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e l'eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. d) Determinare la dimensione del sottospazio di raggiungibilità e del sottospazio di non osservabilità del sistema. _________________________________________ ___________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si considerino i sistemi non lineari a tempo continuo (due sistemi, in base al segno ): Per entrambi i sistemi: a) Determinare gli stati di equilibrio per ogni . b) Discuter e la stabilità di tutti gli eq uilibri . c) Rappresentare graficamente equilibri e traiettorie nel piano . ____________________________________________ _____________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 3) Un amplificatore a radio -frequenza ha funzione di trasferimento : a) Discutere la stabilità del sistema, determinando in particolare il tempo di risposta. b) Determinare qualitativamente e rappresentare graficamente la risposta allo scalino. c) Tracciare i diagrammi di Bode del modulo e della fase. d) All'amplificatore viene applicato i l segnale in figura, formato dalla concatenazione di tre sinusoidi di ampiezza 1 e di frequenza diversa (vedi figura), ciascuna per la durata di 1 secondo. Determinare (e rappresentare con un grafico analogo a quello in figura) il segnale di uscita . __________________________________________ ______ _________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui (costante) e a) Mediante il criterio di Bode, discutere la stabilità del sistema di controllo per , tracciando inoltre il diagramma pol are (qualitativo) della funzione di trasferimento d'anello (eviden ziare il punto -1). b) Determinare un valore di che renda il sistema di controllo asintoticamente stabile con margine di fase di circa 90 gradi. c) Determinare, in modo approssimato, la banda passante ed il tempo di risposta del sistema di controllo progettato al punto b . d) Determinare l'errore a transitorio esaurito dovuto al disturbo _____________________________________________ ____________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Si consideri un sistema di ordine . Quali informazioni , riguardanti le proprietà di stabilità del sistema, si possono dedurre dalla sola conoscenza del segno (o del valore nullo) di traccia e determinante di ? 6) Enunciare la definizione di sistema esternamente stabile; specificare le implicazioni esistenti tra stabilità asintotica ed este rna. 7) Scrivere il modello ingresso/uscita (sia in forma di equazione differenziale che di funzione di trasferimento) corrispondente allo schema Simulink sotto riportato. Risposte ai quesiti 5 -6-7 [se necessario proseguire sul retro ]: 5) 6) 7)