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1. S i consideri il seguente sistema non lineare    ˙x1(t) = − √ x1(t) + x2(t) ˙x2(t) = −x2(t) + u(t) y(t) = x1(t) + x2(t) 1.1) Calcolare lo stato e l’uscita di equilibrio associati all’ingresso costante u(t) = ¯u = 1, ∀t ≥ 0. 1.2) Valutare la stabilit` a del punto di equilibrio calcolato al punto precedente. 1.3) Determinare l’espressione analitica del movimento di x2(t) d el sistema dato, considerando un ingresso a scalino di ampiezza unitaria e le seguenti condizioni iniziali delle variabili di stato: x1(0) = 2 e x2(0) = −1. Fornire una rappresentazione grafica di x2(t). 2. S i consideri il seguente sistema lineare:       ˙x1(t) = α · x1(t) ˙x2(t) = x1(t) − 10x2(t) ˙x3(t) = −x1(t) + x2(t) − x3(t) + u(t) y(t) = x3(t) 2.1) Dire, giustificando la risposta, per quali valori di α il sistema ` e asintoticamente stabile. 2.2) Per α = −1, ricavare la funzione di trasferimento G(s) del sistema con ingresso u ed uscita y. 2.3) Tracciare qualitativamente la risposta all’ingresso u(t) = 2e− tsca(t), evidenziando valore iniziale e finale, tempo di assestamento ed eventuali sovraelongazioni. 3. Si consideri la seguente funzione di trasferimento: F (s) = Y (s) U (s) = 1 00 (s − 10) (s + 1)(s + 100) 3.1) Tracciare i diagrammi asintotici ed esatti del modulo e della fase della risposta in frequenza associata a F (s). 3.2) Disegnare il diagramma polare qualitativo associato a F (s).