Materiale universitario di Fondamenti di Automatica per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: 1) RISPOSTA LIBERA I Y( + ) A x( + ) + Bu(t) x = stato del sistema ( = - A( + 1) sistema LTI formula di Lagrange et(t to) xo - u = ingresso - X() = . + . B u(t)de - y( +) = C - X( + ) + D y(t) - y = uscita movimento libero movimento forzato (dipende dall’ingresso) • Trova la…
Materiale universitario di Fondamenti di Automatica per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: 1) RISPOSTA LIBERA I Y( + ) A x( + ) + Bu(t) x = stato del sistema ( = - A( + 1) sistema LTI formula di Lagrange et(t to) xo - u = ingresso - X() = . + . B u(t)de - y( +) = C - X( + ) + D y(t) - y = uscita movimento libero movimento forzato (dipende dall’ingresso) • Trova la…
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1) RISPOSTA LIBERA I Y( + ) A x( + ) + Bu(t) x = stato del sistema ( = - A( + 1) sistema LTI formula di Lagrange et(t to) xo - u = ingresso - X() = . + . B u(t)de - y( +) = C - X( + ) + D y(t) - y = uscita movimento libero movimento forzato (dipende dall’ingresso) • Trova la risposta libera Risposta libera: come evolve la x considerando un ingresso u nullo? X(+ ) = eA(t to) xo - . A è diagonalizzabile se e solo se A ha n autovalori distinti. ➞ Se A è diagonalizzabile, la risposta libera può essere scritta come la combinazione lineare dei modi e λ₁ …e λₙ t + Nei sistemi dinamici lineari, i modi sono la parte di soluzione eλt dell’equazione omogenea associata al sistema x(t) = C⋅e^λt dove: λ è un autovalore del sistema (reale o complesso) Quindi devo calcolare gli autovalori: risolvo l’equazione caratteristica det (xI A) - = 0 TE 15/02/25 ↑ calcola il movimentno libero dello stato con x₁(0) , x₂(0)≠0. x10 us = 1)Xz( + ) dipende solo da se stesso ➞ x2( +) = ett Xo . = est xz(0) - 2) ẋ₁(t) = E' xeo . + [ élt - 1) . x215) . de = étx) + et/e esx10d . = etx et + . [x0 ex-ex = u(t) = Xz TE 27/08/20 * (ii) sti) ( 11) D = calcola il movimento libero dello stato con x(0) = [1 2 0]ᵀ ex ét - & t X . = x₁ e x₃ dipendono da se stessi: = X , 1+ ) = e x X3(t) = 0 X3 = e93 + x3 = 1 %0 0 10x3 = x3 = + Bult) x₂ dipende da x₁ che chiamo u(t) 4214) = 4x , - xnee u( = 4x) - Xi( = Let de = ce ++ et) e e dx = + ce + ve + (di = 2e + + + et TE 26/01/21 1.2) Calcolare il movimento libero dell’uscita a partire dallo stato iniziale x(0) = [1 0]ᵀ (i) B = (2) fu 2) d = 3 2t 0 e2t I u = x₁ dipende da se stesso: Xi = 1 'é = a 22 Bu(t) = x + ( +) 4x Est ext) (2) Seht-geit - , cit 1) y = - 2x = - 2Xz X2 = 22t - 4x2u() = e2t quindi xn(t = 0 . +t e - . =ade = de = . 2) STABILITÀ sistema asintoticamente…
2.2) MATRICI DI JORDAN J 2 1 0 0 2 0 Matrice di Jordan è una qualsiasi matrice diagonale che ha oltre a 0 anche degli 1 sulla sovradiagonale sovradiagonale ➞ quella appena sopra la diagonale principale 0 0 2 Nelle Matrici di Jordan, gli autovalori λ si trovano sulla diagonale principale (come sempre) Ripasso Algebra lineare: ma = molteplicità algebrica quante volte un autovalore annulla il polinomio caratteristico (o quante volte un λ appare sulla diagonale principale della MdJ). mg = molteplicità geometrica Quanti autovettori linearmente indipendenti ci sono per quell’autovalore (o numero di miniblocchi relativi all’autovettore) mg = n - rango(A-λᵢ I ) & posso suddividere la MdJ in sottoblocchi, detti miniblocchi. esempio Numero di miniblocchi relativi all’autovettore: ➞ sottomatrice più grande possibile, con diagonale formata dalla diagonale principale, e grande fino a quando non “ingloba” gli 0 sulla sovradiagonale. J 2 1 0 0 2 0 ma(2) = 3 Nel nostro caso ne trovo 2: una che comprende solo 2 , l’altra [2x2] data la presenza di 1. 0 0 2 mg(2) = 2 Se tra due autovalori consecutivi (cioè sulla diagonale) c’è un 1 sopra, allora fanno parte dello stesso blocco di Jordan Se non c’è un 1, allora inizia un nuovo blocco -1) η = dimensione del i modi per le matrici di Jordan sono diversi: et , tet ,..., et miniblocco più grande costante di tempo dominante ➞ costante di tempo più grande, associata ai modi del sistema T tempo di assestamento ➞ tempo che passa da t₀ finchè il sistema raggiunge 0. È legato alla costante di tempo dominante del sistema. consideriamo il tempo di assestamento pari a: tₐ = 5τ τ = costante di tempo = IRe(x) 3) LINEARIZZAZIONE Sia dato un sistema non lineare (sempre tempo invariante) [ f,g sono funzioni non lineari. dipendono da uno stato x(t) ed un…
5) SCHEMA A BLOCCHI So che la FdT permette di scrivere la relazione tra ingresso e uscita: Y(s) = G(s) U(s) Si possono creare dei sistemi, unendo tra loro, in serie o in parallelo, più FdT. Possiamo rappresentare le FdT con il seguente schema a blocchi: Gesel = N Ga = I poli e gli zeri del sistema sono al massimo l’unione dei poli delle due G. potrebbero esserci delle semplificazioni di poli/zeri u y Serie di FdT Gro+ (1) G1 Gz MNz Il sistema totale è AS se lo sono i due sottosistemi G₁ e G₂ . G₁(s) G₂(s) · = = D Dz . I poli del sistema, anche qui, sono al massimo l’unione dei poli delle due G. G₁(s) u & y Gli zeri si modificano (numeratore diverso) NiDz + N2D Parallelo di FdT t Go + (1) = G1 + 62 = Il sistema totale è AS se lo sono i due sottosistemi G₁ e G₂ . D Dz . G₂(s) • G₁(s) è la fdT di ANDATA (lega la u ad y ad anello aperto, cioè se non ci fosse la retroazione) • G₂ (s) è la fdT di RETROAZIONE + ↓ nodo di confronto positiva: G tot = 1 - 62 • L(s) = G₁∙G₂ è la fdT ad ANELLO Retroazione u y G₁(s) La retroazione è negativa se la linea di retroazione (anello chiuso) entra nel sommatore con segno (−). altrimenti è positiva. - La retroazione è l’unica che modifica i poli dei due sottosistemi G₁ e G₂ . I G₂(s) negativa: Grot Gi = La stabilità non dipende quindi da G₁ e G₂ . 1 + 6 1 62 numeratore: FdT del segnale diretto , denominatore: 1 + FdT dell’anello chiuso Tempo si risposta del sistema completo ➞ devo trovare il modo del sistema piu lento (l’autovalore con la parte IRe più piccola in modulo!) 6) RISPOSTE CANONICHE Risposta allo scalino u(t) = sca(t) La risposta la calcolo nel dominio di ℒ ➞ 1 Y(s) = G(s) U(s) dove U(s) = ℒ [u(t) ] = ℒ [sca(t) ] = — s ricavo y(t) da Y(s), con l’antitrasformata ℒ⎺¹ ➞ Sviluppo di Heaviside: scompongo una funzione razionale…
Grado relativo di una fdt indica quanto è "lento" il sistema a reagire all’ingresso e quale sarà il comportamento iniziale della risposta. corrisponde a: r = grado den - grado num Calcolo tante derivate quanto è r. r=0: salto iniziale (discontinuità) Come parte graficamente la curva: r=1: rampa iniziale (pendenza ≠ 0) Indica la prontezza del sistema: più basso è r, più il sistema è reattivo (quasi impulsivo) r=2: curva parte piatta (pendenza zero, ma concavità ≠ 0) r≥3: curva parte più lentamente (serve più tempo a “muoversi”) = ↳mae Legami tra scalino ed altri ingressi canonici impulso = derivata dello scalino: imp(t) scal quindi 2 (imp( + ) = 1 risposta dell’impulso: rampa = integrale dello scalino: ramp (+ ) = (sca(t)di quindi 2[ramp(+ ] = 52 risposta della rampa: a Se ad un sistema lineare con G(s) esternamente stabile, ed applico un ingresso sinusoidale u(t) = Asin(ωt), allora TEOREMA DELLE RISPOSTE IN FREQUENZA l’uscita, a transitorio esaurito , che si indica con y∞ (t) , assume la forma: y * (+ ) = G(iw) Asin(w+ + G(iw) indipendentemente dallo stato iniziale. 7) DIAGRAMMA DI BODE DIAGRAMMA DEL MODULO DIAGRAMMA DELLA FASE Viene rappresentato il modulo | G(jω) | in funzione della pulsazione ω. Entrambi in scala logaritmica: Viene rappresentata la fase ∠G(jω) in funzione della pulsazione ω. La fase è espressa in scala • | G(jω) | convertiti in dB ➞ | G(jω) |dB lineare, mentre ω sempre in scala logaritmica₁₀ . • ω in scala logaritmica di base 10 zeri reali zeri cc µ ( + e + z)(1 29 ++ forma canonica G(s) = —— sg (1 + 1Tp) s² + ——2ξ —— s+1 ωₚ² ωₚ poli reali poli cc tipo del sistema esponente g ➞ indica il numero di poli nell’origine. In base al suo valore calcolo il guadagno guadagno influenza il punto in cui parte la funzione: se g = 0 calcolo il guadagno statico in…
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