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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 1-3-2017 Esercizio 1. a. Calcolare il valore del seguente limite lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 3x)− 3 sinx. b. Si calcolino le soluzioni dell’equazione complessa z4 +iz = 0. Soluzioni a. Perx→ 0, valgono gli sviluppi: ex2 = 1 +x2 +o(x2) cos(2 x) = 1− 2x2 +o(x3) ln(1 + 3x) = 3x− 9 2x2 +o(x2) sin x =x− 1 6x3 +o(x4) Dunque: lim x→0 ex2 − cos(2x) ln(1 + 3x)− 3 sinx = lim x→0 1 +x2 +o(x2)− 1 + 2x2 +o(x3) 3x− 9 2x2− 3x +o(x2) = lim x→0 3x2 +o(x2) − 9 2x2 +o(x2) =−2 3 b. Notiamo subito che z = 0 ` e soluzione dell’equazione. Possiamo quindi dividere per z e cercare soluzioni (non nulle) del problema di radice cubica z3 =−i. Imponendo la coordinata polare z =ρ (cosϑ +i sinϑ) ove ρ∈ (0, +∞) e ϑ∈ [0, 2π) sono incogniti, utilizzando la formula di de Moivre, abbiamo z3 =ρ3 [cos(3ϑ) +i sin(3ϑ)], e −i = [ cos (3π 2 ) +i sin (3π 2 )] da cui, tornando all’equazione ρ3 [cos(3ϑ) +i sin(3ϑ)] = [ cos (3π 2 ) +i sin (3π 2 )] . Possiamo quindi scorporare tale equazione in una equazione per i moduli ed una per gli argomenti    ρ3 = 1, 3ϑ = 3π 2 + 2kπ, k ∈ Z, ⇐⇒    ρ = 1, ϑk = π 2 + 2kπ 3 , k = 0, 1, 2. Pertanto, le soluzioni non nulle dell’equazione (radici cubiche di −i) sono z0 = [ cos (π 2 ) +i sin (π 2 )] =i, z1 = [ cos (7π 6 ) +i sin (7π 6 )] =− √ 3 2 −i1 2, z2 = [ cos (11π 6 ) +i sin (11π 6 )] = √ 3 2 −i1 2. Esercizio 2. Si consideri, al variare del parametro reale α, il seguente sistema lineare    x +y +αz = 2, x +y + 3z =α− 1, 2x +αy−z = 1. a. Si dica per quali valori di α tale sistema ammette soluzione, ed in questo caso specificarne il numero. b. Per i valori di α stabiliti al punto a., si calcolino le soluzioni del sistema. Soluzioni a. Poniamo Aα =   1 1 α 1 1 3 2 α −1  , x =   x y z  …