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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 6-9-2017 Esercizio 1. Si considerino i sottoinsiemi A e B del piano complesso definiti come A = { z∈ C : |z + 1−i| =|z| } e B = { z∈ C : Re(z) + Im(z) = 0 } a. Disegnare A e B sul piano di Gauss; b. risolvere il sistema    |z + 1−i| =|z| Re(z) + Im(z) = 0 e interpretare il risultato dal punto di vista geometrico. Soluzioni a. A ` e il luogo dei punti equidistanti daz =−1 +i, cio´ e dal punto (−1, 1), e da z = 0, cio´ e dal punto (0, 0). Quindi ` e la rettay =x + 1 del piano di Gauss. B ` e il luogo dei punti con parte reale e immaginaria di segno opposto, cio´ e la rettay =−x del piano di Gauss. b. La soluzione del sistema ` e data quindi dall’intersezione di queste due rette: { y =x + 1 y =−x ⇒ { y =− 1 2 y = 1 2 ⇒ z0 =−1 2 + 1 2i. Tale puntoz0 rappresenta l’intersezione tra l’nsieme A e l’insieme B. Esercizio 2. Studiare la funzione f(x) =x− 2 3 ln(1 +x3). Dominio di f: D(f) = (−1, +∞). Limiti agli estremi: lim x→(−1)+ f(x) = +∞ e lim x→+∞ f(x) = +∞. Eventuali asintoti: la retta x =−1 ´ e asintoto verticale destro superiore perf; inoltre, poich´ e lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ ( 1− 2 3 ln(1 +x3) x ) = 1 e lim x→+∞ (f(x)−x) = lim x→+∞ −2 3 ln(1 +x3) =−∞ la funzione f non presenta n´ e asintoto orizzontale n´ e asintoto obliquo perx→ +∞. Derivata prima (formula e dominio) : f′(x) = 1− 2 3 3x2 1 +x3 = x3− 2x2 + 1 1 +x3 = (x− 1)(x2−x− 1) 1 +x3 sul dominio D(f′) =D(f) = (−1, +∞). Studio del segno di f′ (max/min): f′(x)    > 0 ⇐⇒ 1− √ 5 2 <x< 1 e x> 1+ √ 5 2 , = 0 ⇐⇒ x = 1− √ 5 2 , x= 1 e x = 1+ √ 5 2 , < 0 ⇐⇒ x< 1− √ 5 2 e 1 <x< 1+ √ 5 2 ⇒ x = 1 ´ e massimo locale perf; inoltre x = 1− √ 5 2 e x = 1+ √ 5 2 sono minimi locali per f. Si noti inoltre chex = 1− √ 5 2 ´ e anche assoluto. Segno…