01 07 14 1

Pagina 1

ANALISI MATEMATICA II 1◦ luglio 2014 Proff. Boella, Gazzola, Migliavacca Ingegneria CHI - ELT - MAT I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. c⃝ Esercizio 1. Siano date f e g, funzioni 2π–periodiche cos` ı definite: f(x) = { x per − π 2<x< π 2 0 per −π≤x≤−π 2 e π 2≤x≤π , g(x) = { 1 x per 0<x<π 0 per −π≤x≤0. a) Stabilire per quali di esse sono calcolabili i coefficienti di Fourier. Scelta una tale funzione, disegnarne un grafico nell’intervallo [−3π, 3π]. b) Indicare, senza calcolarla, l’espressione dei coefficienti della serie associata alla funzione scelta. c) Stabilire in quali punti la serie di Fourier converga puntualmente alla corrispondente funzione associata. Soluzione: a) Per la funzione f ` e possibile calcolare i coefficienti di Fourier, poich´ ef risulta integrabile sul periodo, essendo per definizione: ∫ π −π f(x) dx = ∫ −π/2 −π 0 dx + ∫ π/2 −π/2 x dx + ∫ π π/2 0 dx ed essendo ognuno dei tre addendi un integrale convergente. Viceversa, la funzione g non ` e integrabile sul periodo, in quanto per definizione sarebbe: ∫ π −π g(x) dx = ∫ 0 −π 0 dx + ∫ π 0 1 x dx, ma l’ultimo integrale ` e divergente. Il grafico di f in [−3π, 3π] ` e: - x 6y −3π −π 3ππ r r r r r r b) Poich´ ef ` e dispari,an = 0 per ogni n∈ N ; sfruttando la simmetria si ha invece: bn = 2 2π ∫ π −π f(x) sin(nx) dx = 2 π ∫ π 0 f(x) sin(nx) dx = 2 π ∫ π/2 0 x sin(nx) dx. c) La funzione f ` e regolare a tratti, quindi per teorema la serie associata a f converge puntual- mente, per ogni valore di x, alla media tra limite destro e sinistro. In particolare, converge alla funzione in tutti i punti ove f ` e…