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ANALISI MATEMATICA II 28 aprile 2014 Cognome: Nome: Matricola: Proff. Boella, Gazzola, Migliavacca Ingegneria CHI - ELT - MAT Teor E1 E2 E3 E4 Totale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria. Enunciare i teoremi di esistenza e di esistenza e unicit` a per il problema di Cauchy di un’equazione differenziale in forma normale. Soluzione: Cfr. libro di testo o appunti. Esercizio 1. Data la linea γ :ϱ =ϑ, 0≤ϑ≤ 2π, calcolare l’area della superficie verticaleS delimitata in basso dal piano xy e in alto dalla superficie z = √ x2 +y2 che si proietta su γ. Soluzione: Usando il significato geometrico dell’integrale di linea, e ricordando che per le linee assegnate in coordinate polari ϱ =g(ϑ) si ha ds = √ [g(ϑ)]2 + [g′(ϑ)]2 dϑ, abbiamo area(S) = ∫ γ z ds= ∫ 2π 0 ϑ √ 1 +ϑ2 dϑ = [1 3(1 +ϑ2) 3 2 ]2π 0 = 1 3 ( (1 + 4π2) 3 2− 1 ) . Esercizio 2. Data la funzione f(x,y ) =ey(x2− 2xy + 2y2), a) determinare massimi e minimi relativi di f(x,y ); b) verificare che x2− 2xy + 2y2> 0 per ogni (x,y )̸= (0, 0); c) determinare (se esistono) massimi e minimi assoluti di f nel suo insieme di definizione. Soluzione: a) Poich´ e la funzione ` e derivabile, eventuali punti di massimo o minimo devono essere punti stazionari. Dal sistema { fx =ey(2x− 2y) = 0 fy =ey(x2− 2xy + 2y2− 2x + 4y) = 0 si ricavano i punti O(0, 0) e…