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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 0 - 1 luglio 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Il numero di auto che transitano da un singolo ingresso di un c asello autostradale in 1 minuto ` e descritto da una variabile di Poisson di valore atteso 4. G li ingressi del casello sono 10 ed i numeri delle auto che transitano da ciascun ingresso in un fissato interva llo di tempo sono indipendenti tra loro. 1. Quanto vale la probabilit` a che non transitino auto in 30 s econdi in un fissato ingresso? 2. Calcolare la probabilit` a che, complessivamente, non tr ansitino auto in 30 secondi attraverso l’intero casello. 3. Calcolare la probabilit` a che in almeno due ingressi su 10 non passino auto in 30 secondi. 4. Qual ` e il numero atteso della variabile aleatoria che con ta il numero di auto che transitano complessi- vamente nei 10 ingressi in 1 ora? Quanto vale la varianza? 5. Quanti minuti dovremo attendere, come minimo, per vedere transitare complessivamente nei 10 ingressi almeno 4000 auto con probabilit` a maggiore di 0 .9? 6. Sapendo che complessivamente sono transitate almeno 240 0 auto in un’ora, quanto vale la probabilit` a che ne siano transitate al massimo 2500? 1 Soluzione. Sia Xa(i) la variabile che conta il numero di auto che transitano dall ’ingresso i in un intervallo temporale di lunghezza a (espresso in minuti). Chiaramente, al variare di i, le variabili sono indipendenti e Xa(i) ∼ P (4a). Vista l’indipendenza tra i vari ingressi, il numero total e di auto Ya = ∑10 i=1 Xa(i) che transitano al casello in un intervallo temporale di lunghez za a ` e una variabile di legge P(40a). 1. P(X0.5 = 0) = exp( − 2) ≈ 0.1353352832. 2. P(Y0,5 = 0) = exp(…