01settembre15

Pagina 1

Analisi Matematica II - 1 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Dimostrare che una curva regolare ` e rettificabile. Domanda 2 Enunciare il teorema delle contrazioni. Domanda 3 Enunciare il teorema di esistenza e unicit` a in grande per un problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 1 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Determinare i punti di massimo e minimo per la funzione f(x, y) = 3 √xy vincolati all’insieme M ={(x, y)∈ R2 , x 2 + y2 = 1 + xy} Esercizio 2 . Sia A =   0 2 −1 0 0 2 0 0 0   . 1. Si calcoli eAt. 2. Si risolva il sistema y′ = Ay con dato iniziale y(1) = (0, 1, 0). 3. L’origine ` e un punto stabile? Asintoticamente stabile? Instabile? Esercizio 3 . Si consideri il sistema { x′ = x2 sin y y′ = 2x cos y . 1. Si determinino i punti di equilibrio. 2. Si determini la stabilit` a dei punti di equilibrio. 3. Si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi.