02 Linearizzazione

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Linearita’ e linearizzazione Parole chiave:Linearita’; principio di sovrapposizione degli effetti; movimento libero e forzato; costan- te di tempo; sistemi non lineari e linearizzazione intorno al punto d’equilibrio; guadagno; caratteristica statica Linearita’ In questo capitolo analizzeremo le conseguenze della linearita’ di un sistema lineare. ⌅Definizione: Operatore lineare Un operatoreOsu uno spazio vettorialeXe’ lineare se, dati due qualsiasix,y2Xe due scalaria,b, O(ax+by)=aO(x)+bO(y). Notiamo che un sistema lineare, visto come operatore dallo spazio delle condizioni inizialix0e degli ingressiu(t)sullo spazio delle tra- iettoriex(t),y(t), e’ un operatore lineare. Infatti, usando la formula di Lagrange, Una conseguenza importante di questa osservazione e’ che la traiettoria di un sistema lineare con condizione inizialex0e ingressou(t)e’ uguale alla somma della traiettoria di un sistema con condizione inizialex0e ingresso nullo e di un sistema con condizione iniziale nulla e ingresso u(t). x(ax1(0)+bx2(0),cu1+du2)= aeAtx1(0)+ beAtx2(0)+ ceAt Zt 0 e AtBu1(t)dt+ deAt Zt 0 e AtBu2(t)dt Notiamo anche che non tutti i sistemi lineari hanno stato a dimen- sione finita. Per esempio, il sistema Ecco un esempio di sistema lineare a dimensione infinita. In questo caso, eccezione tra tutti i sistemi lineari, le equazioni non ammettono la forma matriciale vista in precedenza ˙x=ax(t t) richiede, per il calcolo di una soluzione, la conoscenza della funzio- nex(t)nell’intervallo[ t,0], quindi di un elemento di uno spazio funzionale a infinite dimensioni. 18 appunti di automatica ⌅Definizione: Principio di sovrapposizione degli effetti Per ogni condizione iniziale x(0)= x1(0)+x2(0)o ingresso u(t)=u1(t)+u2(t), la traiettoria di stato e’ la somma delle traiet- torie ottenute con…