02febbraio2015

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Analisi Matematica II - 02 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia X un insieme e sia d : X× X→ [0, +∞). Quali propriet` a deve soddisfare d per essere una distanza (o metrica). Cosa significa che una successione {xn}⊂ X ` e di Cauchy? Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3 Sia y′ = f(y) un sistema di N equazioni differenziali autonome. (a) Quale condizione deve soddisfare f : RN→ RN affinch´ e l’origine sia un punto di equilibrio? (b) Cosa significa che un punto di equilibrio ` e stabile secondo Liapunov? Analisi Matematica II - 02 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Calcolare lo sviluppo in serie di Taylor in x0 = 0 di f(x) = 1 3x2 + 2 e determinare il raggio di convergenza della serie. Esercizio 2 . 1. Determinare al variare del parametro a∈ R la stabilit` a nell’origine del sistema: y′ =   3a a 0 −9a −3a 0 21a− 2 7 a− 3 −1   y . 2. Trovare l’integrale generale del sistema nei casi a = 0 e a = 1. Esercizio 3 . Dato il sistema { x′ = y3− y y′ = x− x3 , si trovino i punti di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a. Si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi.