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FONDAMENTI DI AUTOMA TICA - Ingegneria Gestionale Prof.ssa Mara T anelli Appello del 3 luglio 2014 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x f(x,−4) 1. Si consideri il sistema dinamico non lineare e tempo invaria nte descritto dalle seguenti equazioni ˙x(t) = f (x(t), u(t)) y(t) = x(t). In figura ` e tracciato il grafico di f (x, −4) in funzione di x. 1.1 Si determinino gli stati di equilibrio associati all’in gresso u(t) = u = −4, t ≥ 0 e se ne studino le propriet` a di stabilit` a. 1.2 Si definisca il concetto di regione di attrazione, e la si d etermini per gli eventuali stati di equilibrio asintoticamente stabili trovati al punto precedente. 1.3 Si dica, motivando la risposta, se e come cambiano le risp oste ai punti precedenti considerando il sistema ˙x(t) = 10 f (x(t), u(t)) y(t) = x(t). 2. Si consideri il sistema dinamico lineare e tempo invariante con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni ˙x1(t) = −x1(t) + 5x2(t) + u(t) ˙x2(t) = −2x2(t) + 2u(t) y(t) = x2(t). 2.1 Studiare la stabilit` a del sistema. 2.2 Calcolare il movimento dell’uscita del sistema associa to alla condizione iniziale x1(0) = 1, x2(0) = −1 e all’ingresso costante u(t) = u = 2. 2.3 Determinare la funzione di trasferimento G(s) del sistema e dire, motivando la risposta, se ` e possibile studiare la stabilit` a del sistema a partire dall a conoscenza della sola G(s). 2.4 Calcolare l’uscita di regime del sistema a fronte dell’i ngresso u(t) = 5 + e− 2t + sin(2t) 3. Si consideri il sistema di controllo in figura, con G(s) = 10 (s+1)(0.001s+1)2 ed R(s) = 10 (s+1) s . 3.1 Studiare la stabilit` a del sistema in anello chiuso. 3.2 Verificare che il sistema di controllo introdotto al punt o 3.1 soddisfa i seguenti requisiti: 1) se yo = 10 sca(t) e d(t) = 0, l’uscita di regime ` e…