Formulario per esame

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Sistemi LTI tempo discreto Movimento per k > 0: Sistemi LTI tempo continuo Movimento per t ≥ 0: Z t k X At x(t) = e x0 + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ xk = F k x0 + F k−j Guj−1 0 j=1 Criteri nonstandard di stabilità tempo continuo Criteri nonstandard di stabilità tempo discreto Dati matrice A e φ(λ) = det(λI − A) = φ0 λn + φ1 λn−1 + Dati matrice F e φ(λ) = det(λI − F ) = φ0 λn + φ1 λn−1 + · · · + φn · · · + φn ˆ Re(λi ) < 0, ∀i =⇒ tr(A) < 0 ˆ |λi | < 1, ∀i =⇒ | tr(F )| < n ∃i : Re(λi ) > 0 ⇐= tr(A) > 0 ∃i : |λi | > 1 ⇐= | tr(F )| > n ˆ Re(λi ) < 0, ∀i =⇒ {det(A) ̸= 0, (−1)n det(A) > 0} ˆ |λi | < 1, ∀i =⇒ | det(F )| < 1 ∃i : λi > 0 ⇐= (−1)n det(A) < 0 ∃i : |λi | > 1 ⇐= | det(F )| > 1 ˆ n = 2: Re(λi ) < 0, i = 1, 2 ⇐⇒ {tr(A) < 0, det(A) > 0} ˆ |λi | < 1, ∀i =⇒ φn φ1 φ0 < 1, φ0 < n, φ0 φ(1) > 0 ˆ ∃i : Re(λi ) > 0 ⇐= {φi }2i=0 ̸= 0 e non concordi ˆ |λi | < 1, ∀i ⇐= φ0 > φ1 > · · · > φn > 0 Algebra lineare Costruzione tabella di Routh a11 ... a1n   Per A = , Aij è matrice ottenuta eliminando riga i e colonna j, il ... ... Riga i − 2 h1 h2 h3 . . . an1 ... ann Riga i − 1 k1 k2 k3 . . . complemento algebrico ∆ij di elemento aij è ∆ij := (−1)i+j det Aij ; B := A−1 è Riga i ℓ1 ℓ2 h ℓ3 .i. . h1 hj+1 ottenuta tramite bij = ∆ji /det A per i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n. Regola: ℓj = − k11 det Se A è diagonalizzabile, (λi , zi ) per k1 kj+1  i = 1, . . . ,n sono coppie autovalore/autovettore, 1+s Trasformazione bilineare λ = 1−s  := diag{λ1 , . . . , λn }, M := z1 . . . zn e T := M −1 , allora A = T −1 ÂT e eA = T −1 e T . Definizione trasformata di La- Alcune proprietà trasformata di Laplace place L f (t − τ ) ⋆ −→ e−sτ F (s) R +∞ F (s) = L[f (t)] = 0 f (t)e−st dt L Alcune trasformate notevoli eat f (t) −→ F (s − a) Prestazioni sistemi retroa- L f (t) F (s) tf (t) −→ −…