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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Parte B Parte A VOTO Analisi Matematica I e Geometria Parte B Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari 3 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Studiare e tracciare un grafico qualitativo della funzione reale di variabile reale f(x) =x earctan 1 x . Dominio di f: D(f) = R\{ 0} = (−∞, 0)∪ (0, +∞). La discontinuit` a inx = 0 ` e eliminabile (vedi studio del limiti) Segno di f : f(x)> 0 ⇐⇒ x> 0, f (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 e f(x)< 0 ⇐⇒ x< 0 Limiti agli estremi del dominio : lim x→±∞ f(x) =±∞ e lim x→0± f(x) = 0± (⇒ la discontinuit` a in 0 ` e eliminabile) Asintoti di f: y =x + 1 ` e asintoto obliquo dif per x→±∞ , ∄ asintoti orizzontali o verticali Derivata prima (dominio e formula) : D(f′) = R\{ 0}, f′(x) = x2−x + 1 1 +x2 earctan( 1 x) Eventuali cuspidi e punti angolosi : lim x→0− f′(x) =−π 2 e lim x→0+ f′(x) = π 2 ⇒ x = 0 ` e punto angoloso dif Segno di f′ (max/min): f′(x)> 0 ⇒ f ` e monotona crescente Derivata seconda (dominio e formula) : D(f′′) =D(f′) = R\{ 0}, f′′(x) =f′(x) = x− 2 (1 +x2)2earctan( 1 x) Segno di f′′ (flessi): f′′(x)> 0 ⇐⇒ x> 2, f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 2 e f′′(x)< 0 ⇐⇒ x< 2 ⇒ x = 2 ` e punto di flesso perf 2. Stabilire il carattere delle seguenti serie a) +∞∑ n=1 nn n! 2n ; b) +∞∑ n=1 4n4 +n logn +√n 2n11/2 +n e−n +n + 3 . Soluzioni a)Notiamo preliminarmente che il termine generale della serie an = nn n! 2n ` e positivo, e di conseguenza possiamo applicare il criterio del rapporto. Si ha dunque an+1 an = (n + 1)n+1 (n + 1)! 2n+1 n! 2n nn = 1…